Question

如圖，點A是直線y=-2x+3上的動點，過點A作AB垂直x軸于點B，y軸上存在點C，能使以A、B、C為頂點的三角形是等腰直角三角形．請寫出所有符合條件的點C的坐標

 

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Answer 1

分析：等腰直角三角形可以以A、B、C任意一個為直角頂點，所以分三種情況討論．以A為直角頂點時AB=AC，以B為直角頂點時，由于AB⊥x軸，所以C點為原點，以C為頂點時，AC=BC，因A在直線上，AB⊥x軸，C在y軸，可列方程求得C點的坐標．

解答：解：以A、B、C為頂點的等腰直角三角形分為以A為直角頂點，以B為直角頂點，以C為直角頂點三種情況．
設A（x，y），B（x，0），C（0，c），
（1）以A為直角頂點，則AB、AC為等腰的兩條邊，
∴若y=x=c．
由A在直線y=-2x+3得：x=-2x+3
∴x=1，y=1故得C（0，1）．
若y=-x=c的情況，
∴-x=-2x+3，解得x=3，
C的坐標為（0，-3）

（2）以B為直角，則AB，BC為等腰的兩條邊，
∴C（0，0）．

（3）以C為直角，則AC，BC為等腰的兩條邊，
此時y²=2×（x²+c²），（y-c）²+x²=x²+c²，
又y=-2x+3，
∴聯立解得：c=

3

4

故得C（0，

3

4

）．
綜上所訴：C的所有可能值為（0，1）（0，0）（0，-3）（0，

3

4

）．

點評：本題考查的是思維的緊密性及直線和等腰直角三角形的有關知識，考慮問題一定要全面，分類討論．