Question

（2000•杭州）已知一個正三角形和一個正六邊形的周長相等，求它們的面積的比值．

Answer 1

【答案】分析：根據正多邊形的面積等于周長與邊心距的乘積的一半，所以只需根據它們的周長計算其邊心距；在由正多邊形的半徑、邊心距和邊長組成的直角三角形中，根據銳角三角函數的概念可以分別求得它們的邊心距，再進一步計算其面積，從而得到其比值．
解答：解：設它們的周長是1．根據題意，得
正三角形的邊長是，正六邊形的邊長是．
則正三角形的邊心距是，正六邊形的邊心距是．
則正三角形的面積是，正六邊形的面積是．
則它們的面積比是2：3．
點評：熟悉正多邊形的面積公式：正多邊形的面積等于周長與邊心距的乘積的一半．能夠根據由半徑、邊心距和半邊組成的直角三角形，運用銳角三角函數進行計算．