Question

已知：如圖，△ABC是邊長3 cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1 cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動．設點P的運動時間為t(s)，解答下列問題：

(1)當t為何值時，△PBQ是直角三角形？

(2)設四邊形APQC的面積為y(cm²)，求y與t的關系式；是否存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二？如果存在，求出相應的t值；不存在，說明理由；

(3)設PQ的長為x(cm)，試確定y與x之間的關系式．

Answer 1

答案：
解析：

解： 　　⑴答：當t＝1秒或t＝2秒時，△PBQ是直角三角形．…………………4分 　　根據題意：AP＝tcm，BQ＝tcm． 　　△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°， 　　∴BP＝(3－t)cm． 　　△PBQ中，BP＝3－t，BQ＝t， 　　若△PBQ是直角三角形，則∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°． 　　當∠BQP＝90°時，BQ＝BP． 　　即t＝(3－t)， 　　t＝1(秒)． 　　當∠BPQ＝90°時，BP＝BQ． 　　3－t＝t， 　　t＝2(秒)． 　　⑵過P作PM⊥BC于M． 　　Rt△BPM中，sin∠B＝， 　　∴PM＝PB·sin∠B＝(3－t)． 　　∴S△PBQ＝BQ·PM＝·t·(3－t)． 　　∴y＝S△ABC－S△PBQ 　　＝×32×－·t·(3－t) 　　＝． 　　∴y與t的關系式為：y＝．…………………6分 　　假設存在某一時刻t，使得四邊形APQC的面積是△ABC面積的， 　　則S四邊形APQC＝S△ABC． 　　∴＝××32×． 　　∴t2－3t＋3＝0． 　　∵(－3)2－4×1×3＜0， 　　∴方程無解． 　　∴無論t取何值，四邊形APQC的面積都不可能是△ABC面積的．……8分 　　⑶在Rt△PQM中， 　　MQ＝＝． 　　MQ2＋PM2＝PQ2． 　　∴x2＝[(1－t)]2＋[(3－t)]2 　　＝ 　　＝＝3t2－9t＋9．……………………………10分 　　∴t2－3t＝． 　　∵y＝， 　　∴y＝＝＝． 　　∴y與x的關系式為：y＝．……………………………12分