Question

如圖，已知矩形ABCD，AB=

3

，BC=3，在BC上取兩點E、F（E在F左邊），以EF為邊作等邊三角形PEF，使頂點P在AD上，PE、PF分別交AC于點G、H．
（1）求△PEF的邊長；
（2）在不添加輔助線的情況下，從圖中找出一個除△PEF外的等腰三角形，并說明理由；
（3）若△PEF的邊EF在線段BC上移動．試猜想：PH與BE有何數量關系？并證明你猜想的結論．

Answer 1

分析：（1）過P作PQ垂直于BC，垂足為Q，由ABCD為矩形，得到角B為直角，且AD平行于BC，得到PQ=AB，又三角形PEF為等邊三角形，根據“三線合一”得到∠FPQ為30°，在直角三角形FPQ中，設出QF為x，則PF=2x，由PQ的長，根據勾股定理列出關于x的方程，求出x的值，即可得到PF的長，即為等邊三角形的邊長；
（2）△APH為等腰三角形，理由是：由AB和BC，根據勾股定理求出AC的長，發現CD等于AC的一半，根據直角三角形中，一直角邊等于斜邊的一半，這條直角邊所對的角為30°，即∠PAH為30°，又根據矩形的對邊平行，得到內錯角∠DPF=∠PFE=60°，又∠DPF為△APH的外角，根據外角定理得到∠PHA=30°，然后根據等角對等邊得到AP=HP，故△APH為等腰三角形；
（3）PH-BE=1，理由是：過E作ER垂直于AD，如圖所示，根據矩形的對邊平行得到一對內錯角相等，可得∠APE=60°，在直角三角形EPR中，∠REP=30°，根據直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，由PE求出PR，由（2）中得到PA=PH，則PH-BE=PA-BE=PA-AR=PR，即可得到兩線段的關系．

解答：解：（1）過P作PQ⊥BC于Q（如圖1）
∵矩形ABCD，∴∠B=90°，即AB⊥BC，
又AD∥BC，∴PQ=AB=

3

∵△PEF是等邊三角形，∴∠PFQ=60°
在Rt△PQF中，∠FPQ=30°，
設PF=2x，QF=x，PQ=

3

，
根據勾股定理得：（2x）²=x²+(

3

)2，
解得：x=1，故PF=2，
∴△PEF的邊長為2．

（2）△APH是等腰三角形．理由如下：
在Rt△ADC中，AB=

3

，BC=3，∴由勾股定理得AC=2

3

，
∴CD=

1

2

AC，∴∠CAD=30°
∵AD∥BC，∠PFE=60°，∴∠FPD=60°，
∴∠PHA=30°=∠CAD，∴PA=PH，
∴△APH是等腰三角形．

（3）PH-BE=1，理由如下：
作ER⊥AD于R（如圖2）
Rt△PER中，∠RPE=60°，
∴PR=

1

2

PE=1，∴PH-BE=PA-BE=PR=1．

點評：此題綜合考查了矩形的性質，等腰三角形的判別與性質、等邊三角形的性質及直角三角形的性質．學生作第三問時，應借助第二問的結論，結合圖形，多次利用數學中等量代換的方法解決問題，這就要求學生在作幾何題時注意合理運用各小題之間的聯系．