Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，，，F是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且保持,連接DE、DF、EF在此運動變化的過程中，下列結論：(1)是等腰直角三角形；四邊形CDFE不可能為正方形，（3）長度的最小值為4；（4）連接CF，CF恰好把四邊形CDFE的面積分成1：2兩部分，則或其中正確的結論個數是

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個

Answer 1

【答案】A

【解析】

連接CF，證明△ADF≌△CEF，根據全等三角形的性質判斷①，根據正方形的判定定理判斷②，根據勾股定理判斷③，根據面積判斷④．

連接CF，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠FCB=∠A= ，CF=AF=FB；

∵AD=CE，

∴△ADF≌△CEF(SAS)；

∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；

∵∠AFD+∠CFD=90，

∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90，

又∵EF=DF

∴△EDF是等腰直角三角形(故(1)正確).

當D. E分別為AC、BC中點時,四邊形CDFE是正方形(故(2)錯誤).

由于△DEF是等腰直角三角形，因此當DE最小時，DF也最小；

即當DF⊥AC時,DE最小,此時 .

∴ (故(3)錯誤).

∵△ADF≌△CEF，

∴S△CEF=S△ADF

∴S四邊形CDFE=S△AFC,

∵CF恰好把四邊形CDFE的面積分成1：2兩部分

∴S△CEF：S△CDF=1:2 或S△CEF：S△CDF=2:1

即S△ADF：S△CDF=1:2 或S△ADF：S△CDF=2:1

當S△ADF：S△CDF=1:2時，S△ADF=S△ACF=

又∵S△ADF=

∴2AD=

∴AD=(故(4)錯誤).

故選：A.