Question

【題目】把兩個全等的等腰直角三角板（直角邊長為4）疊放在一起，且三角板EFG的直角頂點G位于三角板ABC的斜邊中點處．現將三角板EFG繞G點按順時針方向旋轉α度（0°＜α＜90°）（如圖1），四邊形GKCH為兩三角板的重疊部分．

（1）猜想BH與CK有怎樣的數量關系？并證明你的結論；
（2）連接HK（如圖2），在上述旋轉過程中，設BH=x，△GKH的面積為y，
①求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
②當△GKH的面積恰好等于△ABC面積的 ，求x．

Answer 1

【答案】
（1）

解：BH=CK．

理由如下：∵點O是等腰直角三角板ABC斜邊中點，

∴∠B=∠GCK=45°，BG=CG，

由旋轉的性質，知∠BGH=∠CGK，

在△BGH和△CGK中，

，

∴△BGH≌△CGK（ASA），

∴BH=CK；

（2）

解：①∵△BGH≌△CGK，

∴S四邊形CHGK=S△CGK+S△CGH=S△BGH+S△CGH=S△BCG= S△ABC=4，

∴S△GKH=S四邊形CHGK﹣S△KCH=4﹣ CH×CK，

∴y= x2﹣2x+4（0＜x＜4），

②當y= ×8= 時，即 x2﹣2x+4= ，

∴x=1 或x=3．

∴當△GKH的面積恰好等于△ABC面積的 時，BH=1 或BH=3．

【解析】（1）先由ASA證出△CGK≌△BGH，再根據全等三角形的性質得出BH=CK，根據全等得出四邊形CKGH的面積等于三角形ACB面積一半；（2）①由（1）易得S四邊形CHGK= S△ABC ， 然后根據面積公式得出y= x2﹣2x+4；②根據△GKH的面積恰好等于△ABC面積的 ，代入得出方程即可求得結果．