Question

【題目】如圖，正方形ABCD邊長為1，以AB為直徑作半圓，點P是CD中點，BP與半圓交于點Q，連接給出如下結論：；；；其中正確的結論是______填寫序號

Answer 1

【答案】

【解析】

①連接OQ，OD，如圖1．易證四邊形DOBP是平行四邊形，從而可得DO∥BP．結合OQ＝OB，可證到∠AOD＝∠QOD，從而證到△AOD≌△QOD，則有DQ＝DA＝1；

②連接AQ，如圖2，根據勾股定理可求出BP．易證Rt△AQB∽Rt△BCP，運用相似三角形的性質可求出BQ，從而求出PQ的值，就可得到 的值；

③過點Q作QH⊥DC于H，如圖3．易證△PHQ∽△PCB，運用相似三角形的性質可求出QH，從而可求出S△DPQ的值；

④根據圖1和①中的結論可作判斷．

①連接OQ，OD，如圖1．

易證四邊形DOBP是平行四邊形，從而可得DO∥BP，

∴∠AOD＝∠OBP，∠DOQ＝∠OQB，

∵OB＝OQ，

∴∠OBP＝∠OQB，

∴∠AOD＝∠QOD，從而證到△AOD≌△QOD，

則有DQ＝DA＝1；

故①正確；

②連接AQ，如圖2．

∵P是CD的中點，

∴CP＝CD＝，BP ．

易證Rt△AQB∽Rt△BCP，

∴，即，

∴BQ＝，

則PQ＝BP﹣BQ＝﹣＝，

∴＝ ；

故②正確；

③過點Q作QH⊥DC于H，如圖3．

易證△PHQ∽△PCB，

∴ ，即

∴QH＝ ，

∴S△DPQ＝DPQH＝．

故③錯誤；

④如圖1，由①知：△AOD≌△QOD，

∴∠ADQ＝2∠ODQ，

∵OD∥PB，

∴∠ODQ＝∠DQP，

∴∠ADQ＝2∠DQP，

故④正確，

綜上所述：正確結論是①②④．

故答案為：①②④．