Question

已知△ABC是正三角形，正方形EFPN的頂點(diǎn)E、F在邊AB上，頂點(diǎn)N在邊AC上．
（1）如圖，在正三角形ABC及其內(nèi)部，以點(diǎn)A為位似中心，畫出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面積最大（不謝畫法，但要保留畫圖痕跡）；
（2）若正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3+2

3

，則（1）中畫出的正方形E′F′P′N′的邊長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

分析：（1）利用位似圖形的性質(zhì)，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答圖①所示；
（2）根據(jù)正三角形、正方形、直角三角形相關(guān)線段之間的關(guān)系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的邊長(zhǎng)．

解答：解：（1）如圖①，正方形E′F′P′N′即為所求．

（2）設(shè)正方形E′F′P′N′的邊長(zhǎng)為x，
∵△ABC為正三角形，
∴AE′=BF′=

3

3

x．
∵E′F′+AE′+BF′=AB，
∴x+

3

3

x+

3

3

x=3+2

3

，
∴解得：x=3，
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了以位似變換、正三角形、正方形、直角三角形邊角性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，有一定的難度．