Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=1，點(diǎn)D，E在直線BC上運(yùn)動(dòng)．設(shè)BD=x，CE=y
（l）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，求證：△ADB∽△EAC；
（2）在（1）的條件下，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等腰三角形中，等邊對(duì)等角可得：∠ABC=75°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得：∠ABC=∠D+∠DAB=75°，而∠DAB+∠CAE=∠DAE-∠BAC=105°-30°=75°，即可得到∠D=∠CAE．同理：∠DAB=∠E，則根據(jù)有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，即可證得；
（2）根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求得函數(shù)解析式．
解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB==75°．
∵∠ABC=∠D+∠DAB=75°
∠DAB+∠CAE=∠DAE-∠BAC=105°-30°=75°
∴∠D=∠CAE．
同理：∠DAB=∠E．
∴△ADB∽△EAC．

（2）解：∵△ADB∽△EAC，
∴，
∴，
∴y=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形的外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是證得∠D=∠CAE．