Question

【題目】如圖①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE分別是⊙O的內接三角形、內接四邊形、內接五邊形，點M、N分別從點B、C開始，以相同的速度在⊙O上逆時針運動．

（1）求圖①中∠APN的度數（寫出解題過程）；

（2）寫出圖②中∠APN的度數和圖③中∠APN的度數；

（3）試探索∠APN的度數與正多邊形邊數n的關系（直接寫答案）

Answer 1

【答案】（1）∠APN=∠ABC=60°；（2）圖2中，∠APN=∠ABC=90°；圖3中，∠APN=∠ABC=108°；（3）∠APN=．

【解析】

試題分析：（1）由△ABC為等邊三角形可知∠ABC=60°，再由等速運動可得到∠ABP=∠NBC，再利用外角的性質可得∠APN=∠ABP+∠BAP，代換可得到∠APN=∠ABC，可求得∠APN的度數；

（2）和（1）同理可得到∠APN的度數和∠ABC的度數相等，圖③中∠APN的度數和∠ABC的度數相等；

（3）結合（1）（2）可得到∠APN的度數等于多邊形的內角的度數，可得到結論．

解：（1）∠APN=60°．

∵∠APN=∠ABP+∠BAP，

且點M、N以相同的速度中⊙O上逆時針運動，

∴=，

∴∠ABP=∠NBC，

∴∠APN=∠ABP+∠NBC，

即∠APN=∠ABC=60°；

（2）同理：圖2中，∠APN=∠ABC=90°；圖3中，∠APN=∠ABC=108°；

（3）由（1）（2）可知∠APN的度數等于多邊形的內角的度數，

當正多邊形為n邊形時，其內角和為（n﹣2）180°，

所以每個內角的度數為，

所以∠APN=．