Question

如圖1，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為圓心的⊙O的半徑為

2

-1，直線l：y=-x-

2

與坐標軸分別交于A、C兩點，點B的坐標為（4，1），⊙B與x軸相切于點M．
（1）求點A的坐標及∠CAO的度數；
（2）⊙B以每秒1個單位長度的速度沿想x軸負方向平移，同時，直線l繞點A以每秒鐘旋轉30°的速度順時針勻速旋轉，當⊙B第一次與⊙O相切時，請判斷直線l與⊙B的位置關系，并說明理由：

（3）如圖2，過A、O、C三點作⊙O₁，點E是⊙O₁上任意一點，連接EC、EA、EO．
①若點E在劣弧OC上，試說明：EA-EC=

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EO；
②若點E在優弧OAC上，①的結論中EC、EA、EO的關系式是否仍然成立？若成立，請你說明理由？若不成立，請你直接寫出正確的結論．

Answer 1

分析：（1）根據直線l：y=-x-

2

與坐標軸分別交于A、C兩點，A的縱坐標等于0，C點的橫坐標等于0．代入解析式求解即可．
（2）首先根據題意添加輔助線，畫出⊙B第一次與⊙O相切的位置圖，根據兩圓相切的位置關系，求出t，根據時間t求出直線l繞點A以每秒鐘旋轉30°的速度順時針勻速旋轉的角度．根據旋轉后的位置，根據直線與圓的位置關系，判定判斷直線l與⊙B的位置關系．
（3）①由（1）知AC是直徑，先確定三角形OAC為圓內接等腰直角三角形； 在AE上截取AM=CE，連接OM；通過邊角邊定理證明△OAM≌△OCE；進而可知△OME為等腰直角三角形，最后證明AE-EC=

2

EO
②由（1）知AC是直徑，先確定三角形OAC為圓內接等腰直角三角形，在EA的延長線上截取AM=CE，連接OM； 通過邊角邊定理證明△OAM≌△OCE；進而可知△OME為等腰直角三角形，最后證明AE+EC=

2

EO

解答：解：（1）∵點A是直線l：y=-x-

2

與坐標軸x軸的交點
∴y=0，即0=-x-

2

，解得x=-

2

所以點A（-

2

，0），同理點C（0，-

2

）
∴OA=OC
∵OA⊥OC，∴∠CAO=45°

（2）

過B₁做B₁P垂直于l′角l′于點P，連接B₁A，B₁O，B₁N
如圖，設⊙B平移t秒到⊙B₁處與⊙O第一次相切，⊙B₁與x軸相切于點N，連接B₁O，B₁N
則MN=t，OB₁=OK+KB₁=

2

，B₁N=1，B₁N⊥AN
∴ON=1，MN=3，即t=3
l繞點A以每秒鐘旋轉30°的速度順時針勻速旋轉了90°，即l與l′相互垂直．
則B₁P⊥AP，∴∠PAB₁=∠NAB₁
由（1）知AO=

2

，∴AO=OB₁
∴∠OAB₁=∠OB₁A
又∵∠B₁ON=45°
∴∠B₁AO=22.5°
∴∠PAB₁=90°-45°-22.5°=22.5°
在Rt△PAB₁與Rt△NAB₁中，∠PAB₁=∠B₁AN，AB₁為公共邊，
所以Rt△PAB₁≌Rt△NAB₁
PB₁=NB₁=1
故直當⊙B第一次與⊙O相切時，直線l與⊙B相切

（3）

①由（1）知△OAC為圓內接等腰直角三角形，AC為直徑
在AE上截取AM=CE，連接OM；
∵OA=OC，AM=CE，∠OAE=∠OCE（圓周角）
∴△OAM≌△OCE；
∴∠AOM=∠COE，OM=OE
∵∠AOC=∠AOM+∠MOC=90°，∠MOE=∠COE+∠MOC
∴∠MOE=90°
∴△OME為等腰直角三角形
∴ME=

2

EO
又∵ME=AE-AM=AE-EC
∴AE-EC=

2

EO
②

由（1）知三角形OAC為圓內接等腰直角三角形，AC為直徑
在EA的延長線上截取AM=CE，連接OM；
∵OA=OC，AM=CE，∠OAE=∠OCE（外角等于所對的圓周角）
∴△OAM≌△OCE；
∴∠AOM=∠COE，OM=OE
∵∠AOC=∠AOM+∠MOC=90°，∠MOE=∠COE+∠MOC
∴∠MOE=90°
∴△OME為等腰直角三角形
∴ME=

2

EO
又∵ME=AE+AM=AE+EC
∴AE+EC=

2

EO
所以①不成立，正確的結論是AE+EC=

2

EO

點評：本題考查直線與圓的位置關系，坐標系，圓心角、弧度、弦的關系，三角形等．解決本題的關鍵首先要根據題意涉及號圖形，添加好輔助線；同學們解決本題需要對圓、全等三角形等幾何核心知識有深刻的了解．