Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線于點E，連接BE．
（1）求證：BE與⊙O相切；
（2）設OE交⊙O于點F，若DF=1，BC=2，求由劣弧BC、線段CE和BE所圍成的圖形面積S．

Answer 1

（1）見解析   （2）

試題分析：（1）連接OC，易證得△COE≌△BOE（SAS），即可得∠OCE=∠OBE=90°，證得BE與⊙O相切。
（2）設OC=x，則OD=OF﹣DF=x﹣1，易求得OC的長，即可得∠BOC=120°，由S=S_{四邊形OBFC}﹣S_扇形OBC求得答案。
解：（1）證明：連接OC，

∵CE是⊙O的切線，OB=OC，OD⊥BC，∴∠EOC=∠EOB。
∵在△EOC和△EOB中，OB=OC，∠EOC=∠EOB，OE=OE，
∴△COE≌△BOE（SAS），∴∠OCE=∠OBE=90°。
∴OB⊥BE。∴BE與⊙O相切。
（2）∵OD⊥BC，∴CD=BC=×2=。
設OC=x，則OD=OF﹣DF=x﹣1，
在Rt△OCD中，OC²=OD²+CD²，
∴x²=（x﹣1）²+（）²，解得：x=2。
∴OC=2，∠COD=60°，∴∠BOC=120°。
∴CE=OC•tan60°=2。
∴S=S_{四邊形OBFC}﹣S_扇形OBC=2S_△OCE﹣S_扇形OBC=。