Question

【題目】已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BM⊥CM于M，且CM＞BM

（1）如圖1，過點A作AF⊥CM于F，直線寫出線段BM、AF、MF的數量關系是

（2）如圖2，D為BM延長線上一點，連AD以AD為斜邊向右側作等腰Rt△ADE，再過點E作EN⊥BM于N，求證：CM+EN=MN；

（3）將（2）中的△ADE繞點A順時針旋轉任意角α后，連BD取BD中點P，連CP、EP，作出圖形，試判斷CP、EP的數量和位置關系并證明．

Answer 1

【答案】（1）AF=BM+MF．（2）證明見解析；（3）CP=PE且CP⊥PE．

【解析】

試題分析：（1）根據全等三角形的判定定理AAS推知△ACF≌△CBM，然后由全等三角形的對應邊相等、圖形中線段間的和差關系以及等量代換，即可解答；

（2）如圖2，過點A作AG⊥CM于G，反向延長GA交EN于H，由四邊形GMNH為矩形，得到AH⊥EN，根據三垂直得：△CMB≌△AGC，△AEH≌△EDN，利用全等三角形的對應邊相等得到相等的線段，即可解答．

（3）取AB的中點M、AD的中點N，連接PM、CM、NE、PN，則可構造△PNE≌CMP，結論不言而喻．

解：（1）AF=BM+MF，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACF+∠BCM=90°．

又∵AF⊥CM，

∴∠ACF+∠CAF=90°，

∴∠CAF=∠BCM．

在△ACF和△CBM中，

，

∴△ACF≌△CBM，

∴BM=CF，AF=CM，

∴CF+MF=BM+MF=MC=AF，即AF=BM+MF．

故答案為：AF=BM+MF．

（2）如圖2，過點A作AG⊥CM于G，反向延長GA交EN于H，

∴四邊形GMNH為矩形

∴AH⊥EN

根據三垂直得：△CMB≌△AGC，△AEH≌△EDN，

∴CM=AG，EN=AH，

∴MN=GH=GA+AH=CM+EN．

（3）如圖3，

取AB的中點M、AD的中點N，連接PM、CM、NE、PN，

∵△BCA與△AED均為等腰直角三角形，

∴CM=BM=AM，CM⊥BA，

EN=AN=DN，NE⊥AD，

∵P為BD中點，

∴PN=AM=BM=CM，PN∥BA，

PM=AN=DN=NE，PM∥AD，

∴AMPN是平行四邊形，

∴∠BMP=∠PND，

∴∠PMC=∠ENP，

∴△PNE≌CMP（SAS），

∴CP=PE，

∵CM⊥AB，PN∥AB，

∴CM⊥PN，

∴CP⊥PE，

綜上所述，CP=PE且CP⊥PE．