Question

【題目】閱讀理解：如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．垂美四邊形有如下性質：

垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等．

已知：如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，對角線AC、BD相交于點E．

求證：AD2+BC2=AB2+CD2

證明：∵四邊形ABCD是垂美四邊形

∴AC⊥BD，

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2．

拓展探究：

（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．

（2）如圖3，在Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，分別以AB，AC為底邊，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，連接FD，FE，分別交AB，AC于點M，N．試猜想四邊形FMAN的形狀，并說明理由；

問題解決：

如圖4，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5．求GE長．

Answer 1

【答案】拓展探究：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，理由詳見解析；（2）四邊形FMAN是矩形，理由詳見解析；問題解決：.

【解析】

（1）根據垂直平分線的判定定理可得直線AC是線段BD的垂直平分線，進而得證；

（2）首先猜想出結論，根據垂直的定義可得∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，進而證得猜想，將已知代入即可求得CD；

（3）根據垂美四邊形的性質、勾股定理、結合（2）的結論計算即可.

拓展探究：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，

理由如下：

∵AB=AD，

∴點A在線段BD的垂直平分線上，

∵CB=CD，

∴點C在線段BD的垂直平分線上，

∴直線AC是線段BD的垂直平分線，

∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形．

（2）四邊形FMAN是矩形，

理由：如圖3，連接AF，

∵Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，

∴AF=CF=BF，

又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，

∴AD=DB、AE=CE，

∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，

又∵∠BAC=90°，

∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，

∴四邊形AMFN是矩形；

問題解決：

連接CG、BE，

∵∠CAG=∠BAE=90°，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

∵在△GAB和△CAE中，AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，

∴△GAB≌△CAE，

∴∠ABG=∠AEC，

又∠AEC+∠AME=90°，

∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，

∴四邊形CGEB是垂美四邊形，

∴CG2+BE2=CB2+GE2，

∵AC=4，AB=5，

∴BC=3，CG=，BE=，

∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73，

∴GE=