Question

如圖①，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為M（2，-3），且經過點A（0，1），直線y=x+1與拋物線交于A點和B點．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）求△ABM的面積；
（3）如圖②，點P是x軸上的一動點，請探索：
①過點P作PQ∥AB，交BM于點Q，連接AQ，AP，當△APQ的面積最大時，求P的坐標．
②是否存在點P，使得△PAB是直角三角形？若存在，求出所有的點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用頂點式求出二次函數解析式即可；
（2）首先得出D點坐標，把y=x+1代入y=（x-2）²-3，得出x的值，再利用S_△ABM=S_△AMN+S_△BMN求出即可；
（3）①首先求出MB所在直線的解析式為：y=3x-9，進而得出△NQP∽△NBD，即可表示出QP的長，再表示出CP的長，再利用二次函數最值求法得出P點坐標；
②分三種情況討論：Ⅰ．當∠BAP=90°，得出△DAP∽△DHB，Ⅱ．當∠APB=90°時，得出△AOP∽△PHB，Ⅲ．當∠ABP=90°時，得出△AOD∽△PBD分別求出即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為M（2，-3），
∴設y=a（x-2）²-3，將點A（0，1）代入得，
1=4a-3，
∴a=1
∴y=（x-2）²-3；

（2）當y=0時，0=x+1，
∴x=-1，∴D（-1，0）
把y=x+1代入y=（x-2）²-3，得

x+1=(x-2)2-3

，
解得：x₁=0，x₂=5，
如圖1，過點M作MN∥y軸交AB于點N，過點A作AF⊥MN于點F，過點B作BE⊥MN與點E，
當x=2時，y=x+1=3，
∴MN=6，
∴S_△ABM=S_△AMN+S_△BMN=

MN×AF

2

+

MN×BE

2

=

1

2

×6×5=15；

（3）①，
∵B（5，6），A（-1，0）
∴BD=6

2

設MB所在直線的解析式為y=kx+b，
把點B，點M則：

6=5k+b -3=2k+b

∴

k=3 b=-9

，
∴MB所在直線的解析式為：y=3x-9，
∴N（3，0），
∴ND=3-（-1）=4
設P（x，0），則PN=3-x
∵PQ∥AB，
∴△NQP∽△NBD，
∴

PQ

BD

=

PN

DN

，
∴

PQ

6 2

=

3-x

4

，
∴PQ=

3 2 (3-x)

2

，
如圖2，過點P作PC⊥AB于點C，
∵直線y=x+1交x軸于點（-1，0），
∴∠ADO=45°，
∴Rt△PCD為等腰Rt△，
CP=

2

2

DP=

2

2

(x+1)，
∴△APQ的面積=

1

2

×

3 2 (3-x)

2

×

2

2

（x+1）=-

3

4

（x²-2x-3）=-

3

4

（x-1）²+3，
∴x=1時，S的值最大，
此時點P（1，0）；
②分三種情況討論：
Ⅰ．當∠BAP=90°，如圖3，
∵∠DAP=∠HDB，∠BHD=∠DAP，
∴△DAP∽△DHB，
∴

DP

DB

=

DA

DH

，
∴

DP

6 2

=

2

6

，
∴解得：DP=2，
∴OP=1，
∴P₁（1，0），

Ⅱ．當∠APB=90°時，如圖4，
∵∠APO+∠BPH=90°，∠APO+∠OAP=90°，
∴∠OAP=∠BPH，
∵∠AOP=∠PHB=90°，
∴△AOP∽△PHB，
∴

AO

PH

=

PO

BH

，
∴

1

5-OP

=

OP

6

，
解得：OP=2或3，
∴P₂（2，0），P₃（3，0），

Ⅲ．當∠ABP=90°時，如圖5，
∵∠BDP=∠ODA，∠DBP=∠AOD=90°，
∴△AOD∽△PBD，
∴

OD

BD

=

AD

PD

，
∴

1

6 2

=

2

PD

，
解得：PD=12，
∴OP=11，
P₄（11，0），
綜上所述：P點坐標為：（1，0），（2，0），（3，0），（11，0）．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及相似三角形的判定與性質以及三角形面積和二次函數最值問題，利用分類討論得出是解題關鍵．