Question

如圖，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射線l過點D且與x軸平行，點P、Q分別是l和x軸正半軸上動點，滿足∠PQO=60°．

（1）①點B的坐標是　　；②∠CAO=　 　度；③當點Q與點A重合時，點P的坐標為　 　；（直接寫出答案）
（2）設OA的中心為N，PQ與線段AC相交于點M，是否存在點P，使△AMN為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標為m；若不存在，請說明理由．
（3）設點P的橫坐標為x，△OPQ與矩形OABC的重疊部分的面積為S，試求S與x的函數關系式和相應的自變量x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）①（6，2）。 ②30。③（3，3）。
（2）存在。m=0或m=3﹣或m=2。
（3）當0≤x≤3時，
如圖1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；

由題意可知直線l∥BC∥OA，
可得，∴EF=（3+x），
此時重疊部分是梯形，其面積為：

當3＜x≤5時，如圖2，


當5＜x≤9時，如圖3，


當x＞9時，如圖4，

。
綜上所述，S與x的函數關系式為：
。

矩形的性質，梯形的性質，銳角三角函數，特殊角的三角函數值，相似三角形的判定和性質，解直角三角形。
（1）①由四邊形OABC是矩形，根據矩形的性質，即可求得點B的坐標：
∵四邊形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，2），∴點B的坐標為：（6，2）。
②由正切函數，即可求得∠CAO的度數：
∵，∴∠CAO=30°。
③由三角函數的性質，即可求得點P的坐標；如圖：當點Q與點A重合時，過點P作PE⊥OA于E，

∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3。
∴。
∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴點P的坐標為（3，3）。
（2）分別從MN=AN，AM=AN與AM=MN去分析求解即可求得答案：
情況①：

MN=AN=3，則∠AMN=∠MAN=30°，
∴∠MNO=60°。
∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴點N與Q重合。
∴點P與D重合�！啻藭rm=0。
情況②，如圖AM=AN，作MJ⊥x軸、PI⊥x軸。
MJ=MQ•sin60°=AQ•sin60⁰
 

 

又，
∴，解得：m=3﹣。
情況③AM=NM，此時M的橫坐標是4.5，
過點P作PK⊥OA于K，過點M作MG⊥OA于G，

∴MG=。
∴。
∴KG=3﹣0.5=2.5，AG= AN=1.5。∴OK=2�！鄊=2。
綜上所述，點P的橫坐標為m=0或m=3﹣或m=2。
（3）分別從當0≤x≤3時，當3＜x≤5時，當5＜x≤9時，當x＞9時去分析求解即可求得答案。