Question

已知：如圖，等邊三角形ABC內接于⊙O，點P是劣弧上的一點(端點除外)，延長BP至D，使BD=AP，連接CD。

(1)若AP過圓心O，如圖(1)，請你判斷△PDC是什么三角形，并說明理由。

(2)若AP不過圓心O，如圖(2)，△PDC又是什么三角形?為什么?

Answer 1

解：(1)△PDC為等邊三解形   

理由：∵△ABC為等邊三角形，∴AC=BC

在⊙O中，∠PAC=∠DBC，又∵AP=BD，∴△APC≌△BDC  

∴PC=DC   又∵AP過圓心O，AB=AC，∠BAC=60°，

∴∠BAP=∠PAC=∠BAC=30°

∴∠BAP=∠BCP=30°，∠PBC=∠PAC=30°

∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°  

∴△PDC為等邊三角形     

(2)△PDC仍為等邊三角形  

理由：先證△APC≌△BDC （過程同上)。

∴PC=DC      

∴∠BAP+∠PAC=60°，

又∵∠BAP=∠BCP，∠PAC=∠PBC，  

∴∠CPD=∠BCP+∠PBC=∠BAP+∠PAC=60°  

又∵PC=DC，∴△PDC為等邊三角形。