Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 與 軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0），與 軸交于點(diǎn)C（0,-3），頂點(diǎn)為D。

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。
（2）聯(lián)結(jié)AC，BC，求∠ACB的正切值。
（3）點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使得△PBD與△CAB相似，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
（4）M是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N在 軸，是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線過(guò)點(diǎn)B（3，0）C（0，-3）

∴

解得：

∴拋物線解析式為：y= -2x-3；

又∵ y=-2x-3= -4；

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為：D（1，-4）。

（2）

解：作AH⊥BC于點(diǎn)H

∵ -2x-3=0

解得： =-1, =3

∴A(-1,0)

又∵OB=OC,∠B0C=90°

∴∠OBC=45°

∵AB=4

∴AH=BH=2

∵BC=3

∴CH=

∴tan∠ACB==2

（3）

解：作DG⊥OB于點(diǎn)G

∵BG=2,DG=4

∴tan∠DBG=2

∵tan∠ACB=2

∴∠DBG=∠ACB

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，∠PBD＞90°,

∴△PBD為鈍角三角形與△CAB不相似

∴點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)

∴△PBD∽△CAB，且∠DBG=∠ACB

∴

或

∵BD=2

∴BP= 或BP=6

∴P（- ，0）或P（-3，0）

（4）

解：存在；N的坐標(biāo)為：(2+,0); (2-,0) ; (-3,0)

【解析】（1）把點(diǎn)B與點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求解，把解析式整理成頂點(diǎn)式即可寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）首先得出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出∠OBC=45°，BC=3 ， 再過(guò)點(diǎn)A做AH⊥BC,垂足為H，利用 tan∠ACB=,求出即可；（3）根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)得出M及N點(diǎn)坐標(biāo)；檢驗(yàn)即可得出答案。