Question

（2002•昆明）某廣告公司設計一幅周長為12米的矩形廣告牌，廣告設計費為每平方米1000元；設矩形一邊長為x米，面積為S平方米．
（1）求出S與x之間的函數關系式，并確定自變量X的取值范圍；
（2）請你設計一個方案，使獲得的設計費最多，并求出這個費用；
（3）為使廣告牌美觀、大方，要求做成黃金矩形，請你按要求設計，并計算出可獲得的設計費是多少（精確到元）．
參考資料：①當矩形的長是寬與（長+寬）的比例中項時，這樣的矩形叫做黃金矩形；②≈2.236．

Answer 1

【答案】分析：（1）有矩形的周長，那么可根據周長表示出矩形的另一邊長，然后用矩形的面積公式即可得出S與x之間的函數關系式．
（2）可根據（1）得出的函數的性質來確定設計費最多的方案．
（3）本題的關鍵是求出矩形兩邊的長，那么可根據題中給出的黃金矩形的計算公式以及矩形的周長來聯立方程組，從而得出設計成黃金矩形時，矩形的長和寬，進而求出矩形的面積，根據每平米的設計費，就能求出此時獲得的設計費．
解答：解：（1）S與x之間的函數關系式為S=x（6-x）=-x²+6x，（0＜x＜6）．

（2）S=-x²+6x=-（x-3）²+9．
即：矩形廣告牌設計為邊長3米的正方形時，矩形的面積最大．為9平方米；
此時可獲得最多設計費，為9×1000=9000（元）．

（3）設此黃金矩形的長為x米，寬為y米．則由題意可知：

解得：（x=-3-3不合題意，舍去）
即：當把矩形的長設計為（3-3）米時．此矩形將成為黃金矩形．
此時S=xy=（3-3）（9-3）=36（-2）
可獲得的設計費為36（-2）×1000≈8496元．
點評：本題主要考查了二次函數的應用，根據題意找出合適的等量關系是解題的關鍵．