Question

22、如圖所示，O為等邊△ABC內任意一點，OD∥BC，OE∥AC，OF∥AB，并且D、E、F分別在AB、BC、AC上，求證：OD+OE+OF=BC．

Answer 1

分析：延長DO交AC于G，延長FO交BC于H，根據已知條件可得∠OHE=∠B=60°，∠OEH=∠C=60°，則△OHE是等邊三角形，得出HE=OE；易證四邊形DOHB和四邊形OGCE都是平行四邊形，根據平行四邊形的對邊相等，可得DO=BH，OG=EC；又由于BC=BH+HE+EC，所以BC=DO+OG+HE=OD+OE+OF．

解答：證明：延長DO交AC于G，延長FO交BC于H．
∵OD∥BC，OE∥AC，OF∥AB，△ABC是等邊三角形，
∴∠OHE=∠B=60°，∠OEH=∠C=60°，
且四邊形DOHB和四邊形OGCE都是平行四邊形，
∴HE=OE，DO=BH，OG=EC，
又∵BC=BH+HE+EC，
∴BC=DO+OG+HE=OD+OE+OF．

點評：此題主要考查平行四邊形的判定和性質以及等邊三角形的性質．熟練掌握性質定理和判定定理是解題的關鍵．平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質相呼應，每種方法都對應著一種性質，在應用時應注意它們的區別與聯系．