Question

如圖，矩形ABCD中，已知邊AB、BC 的長(zhǎng)恰為關(guān)于x的一元二次方程x²-（m-2）x+3m=0的兩個(gè)根．動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)B、C出發(fā)，其中，點(diǎn)P以a cm/s的速度，沿B→C的路線向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q以3cm/s的速度，沿C→D的路線向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（t＞0），且當(dāng)t=2時(shí)，P、Q兩點(diǎn)恰好同時(shí)到達(dá)目的地．
（1）求m、a的值；
（2）是否存在這樣的t，使得△APQ的外心恰好在△APQ的某一邊上？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)Q以3cm/s的速度，沿C→D的路線向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=2，可得AB=CD=6，代入x²-（m-2）x+3m=0求解即可；
（2）要使△APQ的外心在△APQ的某一邊上，則△APQ為直角三角形；顯然∠PAQ不可能為直角．分別從∠APQ=90°與∠AQP=90°分析，易得相似三角形，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得t的值．

解答：解：（1）由已知得CD=6，
∴AB=6．
把x=6代入方程x²-（m-2）x+3m=0得m=16．
把m=16代入原方程，解得x₁=6，x₂=8，
∴BC=8．
∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度a=8÷2=4（cm/s）；

（2）要使△APQ的外心在△APQ的某一邊上，
則△APQ為直角三角形．
顯然∠PAQ不可能為直角．
若∠APQ=90°，則△ABP∽△PCQ，
∴

AB

BP

=

PC

CQ

．
即

6

4t

=

8-4t

3t

，
解得t=

7

8

．
若∠AQP=90°，同理求得t=2或t=

32

9

．
經(jīng)檢驗(yàn)，t=

32

9

不合題意，舍去，
∴t=2或t=

7

8

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，以及相似三角形的判定與性質(zhì)和圓的外心的性質(zhì)．解此題的關(guān)鍵要抓住不變量，還要注意利用分類討論的思想．解題時(shí)還要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．