Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（﹣2，0），OB=OA，且∠AOB=120°．

（1）求經過A，O，B三點的拋物線的解析式．
（2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△BOC的周長最小？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）若點M為拋物線上一點，點N為對稱軸上一點，是否存在點M，N使得A，O，M，N構成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過點B作BD⊥x軸于點D，由已知可得：OB=OA=2，∠BOD=60°，

在Rt△OBD中，∠ODB=90°，∠OBD=30°

∴OD=1，DB=

∴點B的坐標是（1， ）．

設所求拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

由已知可得： ，

解得：

∴所求拋物線解析式為y= ．

（2）

解：存在，

∵△BOC的周長=OB+BC+CO，

又∵OB=2

∴要使△BOC的周長最小，必須BC+CO最小，

∵點O和點A關于對稱軸對稱

∴連接AB與對稱軸的交點即為點C，

且有OC=OA

此時△BOC的周長=OB+BC+CO=OB+BC+AC；

點C為直線AB與拋物線對稱軸的交點

設直線AB的解析式為y=kx+b，

將點A（﹣2，0），B（1， ）分別代入，得：

，

解得： ，

∴直線AB的解析式為y= x+

當x=﹣1時，y= ，

∴所求點C的坐標為（﹣1， ）；

（3）

解：如圖，

①當以OA為對角線時，

OA與MN互相垂直且平分

∴點M（﹣1，﹣ ），

②當以OA為邊時

OA=MN且OA∥MN

即MN=2，MN∥x軸

設N（﹣1，t）

則M（﹣3，t）或（1，t）

將M點坐標代入y= ．

∴t=

∴M（﹣3， ）或（1， ）

綜上：點M的坐標為：M（﹣1，﹣ ）或（﹣3， ）或（1， ）．

【解析】（1）先確定出點B坐標，再用待定系數法即可；（2）先判斷出使△BOC的周長最小的點C的位置，再求解即可；（3）分OA為對角線和為邊兩種情況進行討論計算．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．