Question

【題目】如圖，在平面直角標系中，拋物線C：y＝與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點D為y軸正半軸上一點．且滿足OD＝OC，連接BD，

（1）如圖1，點P為拋物線上位于x軸下方一點，連接PB，PD，當S△PBD最大時，連接AP，以PB為邊向上作正△BPQ，連接AQ，點M與點N為直線AQ上的兩點，MN＝2且點N位于M點下方，連接DN，求DN+MN+AM的最小值

（2）如圖2，在第（1）問的條件下，點C關于x軸的對稱點為E，將△BOE繞著點A逆時針旋轉60°得到△B′O′E′，將拋物線y＝沿著射線PA方向平移，使得平移后的拋物線C′經過點E，此時拋物線C′與x軸的右交點記為點F，連接E′F，B′F，R為線段E’F上的一點，連接B′R，將△B′E′R沿著B′R翻折后與△B′E′F重合部分記為△B′RT，在平面內找一個點S，使得以B′、R、T、S為頂點的四邊形為矩形，求點S的坐標．

Answer 1

【答案】解：（1）；（2）（，3+）或（﹣，）或（﹣2，2）．

【解析】

（1）由拋物線解析式求點A、B、C坐標，由OD=OC求點D坐標．設點P橫坐標為t，可用待定系數法求得用t表示的直線PB解析式，即能用t表示PB與y軸交點G的坐標，進而用t表示DG的長．以DG為界把△PBD分成左右兩邊的△PDG與△BDG，則以DG為底計算易求得△PBD面積與t的二次函數關系式，求對稱軸即得到△PBD最大時t的值，進而得到點P坐標．求得∠ABP=30°，即x軸平分∠PBQ，故點P、Q關于x軸對稱，得到點Q坐標，進而得到直線AQ解析式，發現∠QAB=∠PAB=60°．作直線AP，可得直線AQ與AP夾角為60°，過點M作MH⊥AP于H，即構造出特殊Rt△MAN，得到MH=AM．把點D平移到D'，使DD'∥MN且DD'=MN，構造平行四邊形MNDD'，故DN=D'M．所以DN+MN+AM可轉化為MN+D'M+MH．易得當點D'、M、H在同一直線上時，線段和會最短，即過D'作D'K⊥AP于K，D'K的值為所求．根據平移性質求D'坐標，求直線D'K與直線AP解析式，聯立方程組求得K的坐標，即求得D'K的長．

（2）拋物線平移不改變開口方向和大小，再求得點E坐標和點A坐標，可用待定系數法求平移后的解析式，進而求得點F．由旋轉性質可得△ABB'與△AEE'為等邊三角形，求出點E'、B'坐標，B'F⊥x軸且△B'E'F為含30°的直角三角形．把點R從E'移動到F的過程，發現∠RB'T一定小于90°，不可能成為矩形內角，故只能是∠B'RT或∠B'TR=90°．點T可以在E'F上，也可以在B'F上，畫出圖形，根據含30°的直角三角形三邊關系計算各線段長，即能求點S坐標．

解：（1）如圖1，過點D作DD'∥MN，且DD'＝MN＝2，連接D'M；過點D'作D'J⊥y軸于點J；

作直線AP，過點M作MH⊥AP于點H，過點D'作D'K⊥AP于點K

∵y＝＝0

解得：x1＝﹣3，x2＝1

∴A（﹣3，0），B（1，0）

∵x＝0時，y＝＝﹣

∴C（0，﹣），OC＝

∴OD＝OC＝，D（0，）

設P（t， t2+t﹣）（﹣3＜t＜1）

設直線PB解析式為y＝kx+b，與y軸交于點G

∴ 解得：

∴直線PB：y＝（t+）x﹣t﹣，G（0，﹣t﹣）

∴DG＝﹣（﹣t﹣）＝t+

∴S△BPD＝S△BDG+S△PDG＝DGxB+DG|xP|＝DGxB﹣xP）＝（t+）（1﹣t）＝﹣（t2+4t﹣5）

∴t＝﹣＝﹣2時，S△BPD最大

∴P（﹣2，﹣），直線PB解析式為y＝x﹣，直線AP解析式為y＝﹣x﹣3

∴tan∠ABP＝＝

∴∠ABP＝30°

∵△BPQ為等邊三角形

∴∠PBQ＝60°，BP＝PQ＝BQ

∴BA平分∠PBQ

∴PQ⊥x軸，PQ與x軸交點I為PQ中點

∴Q（﹣2，）

∴Rt△AQI中，tan∠QAI＝

∴∠QAI＝∠PAI＝60°

∴∠MAH＝180°﹣∠PAI﹣∠QAI＝60°

∵MH⊥AP于點H

∴Rt△AHM＝90°，sin∠MAH＝

∴MH＝AM

∵DD'∥MN，DD'＝MN＝2

∴四邊形MNDD'是平行四邊形

∴D'M＝DN

∴DN+MN+AM＝2+D'M+MH

∵D'K⊥AP于點K

∴當點D'、M、H在同一直線上時，DN+MN+AM＝2+D'M+MH＝2+D'K最短

∵DD'∥MN，D（0，）

∴∠D'DJ＝30°

∴D'J＝DD'＝1，DJ＝DD'＝

∴D'（1，）

∵∠PAI＝60°，∠ABP＝30°

∴∠APB＝180°﹣∠PAI﹣∠ABP＝90°

∴PB∥D'K

設直線D'K解析式為y＝x+d，

把點D'代入得： +d＝

解得：d＝

∴直線D'K：y＝x+

把直線AP與直線D'K解析式聯立得：

解得：

∴K（﹣，）

∴D'K＝

∴DN+MN+AM的最小值為

（2）連接B'A、BB'、EA、E'A、EE'，如圖2

∵點C（0，﹣）關于x軸的對稱點為E

∴E（0，）

∴tan∠EAB＝

∴∠EAB＝30°

∵拋物線C'由拋物線C平移得到，且經過點E

∴設拋物線C'解析式為：y＝x2+mx+

∵拋物線C'經過點A（﹣3，0）

∴×9﹣3m+＝0

解得：m＝

∴拋物線C'解析式為：y＝x2+x+

∵x2+x+＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1

∴F（﹣1，0）

∵將△BOE繞著點A逆時針旋轉60°得到△B′O′E′

∴∠BAB'＝∠EAE'＝60°，AB'＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，AE'＝AE＝

∴△ABB'、△AEE'是等邊三角形

∴∠E'AB＝∠E'AE+∠EAB＝90°，點B'在AB的垂直平分線上

∴E'（﹣3，2），B'（﹣1，2）

∴B'E'＝2，∠FB'E'＝90°，E'F＝

∴∠B'FE'＝30°，∠B'E'F＝60°

①如圖3，點T在E'F上，∠B'TR＝90°

過點S作SW⊥B'E'于點W，設翻折后點E'的對應點為E'

∴∠E'B'T＝30°，B'T＝B'E'＝

∵△B′E′R翻折得△B'E'R

∴∠B'E'R＝∠B'E'R＝60°，B'E'＝B'E'＝2

∴E'T＝B'E'﹣B'T＝2﹣

∴Rt△RTE'中，RT＝E'T＝2﹣3

∵四邊形RTB'S是矩形

∴∠SB'T＝90°，SB'＝RT＝2﹣3

∴∠SB'W＝∠SB'T﹣∠E'B'T＝60°

∴B'W＝SB'＝﹣，SW＝SB'＝3﹣

∴xS＝xB'﹣B'W＝，yS＝yB'+SW＝3+

∴S（，3+）

②如圖4，點T在E'F上，∠B'RT＝90°

過點S作SX⊥B'F于點X

∴E'R＝B'E'＝1，點E'翻折后落在E'F上即為點T

∴B'S＝RT＝E'R＝1

∵∠SB'X＝90°﹣∠RB'F＝30°

∴XS＝B'S＝，B'X＝B'S＝

∴xS＝xB'+XS＝﹣，yS＝yB'﹣B'X＝

∴S（﹣，）

③如圖5，點T在B'F上，∠B'TR＝90°

∴RE'∥E'B'，∠E'＝∠B'E'R＝60°

∴∠E'BE'＝∠E'RE'＝120°

∴四邊形B'E'RE'是平行四邊形

∵E'R＝E'R

∴B'E'RE'是菱形

∴B'E'＝E'R

∴△B'E'R是等邊三角形

∵∠B'SR＝90°，即RS⊥B'E'

∴點S為B'E'中點

∴S（﹣2，2）

綜上所述，使得以B′、R、T、S為頂點的四邊形為矩形的點S坐標為（，3+）或（﹣，）或（﹣2，2）．