Question

【題目】如圖，在ΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D在 BC上，且BD＝BA，點E在BC的延長線上，且CE＝CA，

（1）試求∠DAE的度數.

（2）如果把第（1）題中“AB＝AC”的條件舍去，其余條件不變，那么∠DAE的度數會改變嗎？

（3）如果把第（1）題中“∠BAC＝90°”的條件改為“∠BAC＞90°”，其余條件不變，那么∠DAE與∠BAC有怎樣的大小關系？

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）不改變；（3）∠DAE=∠BAC

【解析】試題分析：（1）要求∠DAE，必先求∠BAD和∠CAE，由∠BAC=90°，AB=AC，可求∠B=∠ACB=45°，又因為BD=BA，可求∠BAD=∠BDA=67.5°，再由CE=CA，可求∠CAE=∠E=22.5°，所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=112.5°-67.5°=45度；
（2）先設∠CAE=x，由已知CA=CE可求∠ACB=∠CAE+∠E=2x，∠B=90°-2x，又因為BD=BA，所以∠BAD=∠BDA=x+45°，再根據三角形的內角和是180°，可求∠BAE=90°+x，即∠DAE=∠BAE-∠BAD=（90°+x）-（x+45°）=45度；
（3）可設∠CAE=x，∠BAD=y，則∠B=180°-2y，∠E=∠CAE=x，所以∠BAE=180°-∠B-∠E=2y-x，∠BAC=∠BAE-∠CAE=2y-x-x=2y-2x，即∠DAE=∠BAC．

試題解析：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵BD=BA，

∴∠BAD=∠BDA=（180°-∠B）=67.5°，

∵CE=CA，

∴∠CAE=∠E=∠ACB=22.5°，

在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠E=112.5°，

∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=112.5°-67.5°=45°；

（2）不改變.

設∠CAE=x，

∵CA=CE，

∴∠E=∠CAE=x，

∴∠ACB=∠CAE+∠E=2x，

在△ABC中，∠BAC=90°，

∴∠B=90°-∠ACB=90°-2x，

∵BD=BA，

∴∠BAD=∠BDA=（180°-∠B）=x+45°，

在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠E

=180°-(90°-2x）-x=90°+x，

∴∠DAE=∠BAE-∠BAD

=（90°+x）-（x+45°）

=45°；

（3）∠DAE=∠BAC，

理由：設∠CAE=x，∠BAD=y，

則∠B=180°-2y，∠E=∠CAE=x，

∴∠BAE=180°-∠B-∠E=2y-x，

∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=2y-x-y=y-x，

∠BAC=∠BAE-∠CAE=2y-x-x=2y-2x，

∴∠DAE=∠BAC.