Question

【題目】（14分）如圖1，△ABC是邊長為4cm的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA=6cm，點D從O點出發，沿OM的方向以1cm/s的速度運動，當D不與點A重合時，將△ACD繞點C逆時針方向旋轉60°得到△BCE，連結DE．

（1）求證：△CDE是等邊三角形；

（2）如圖2，當6＜t＜10時，△BDE的周長是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周長；若不存在，請說明理由；

（3）如圖3，當點D在射線OM上運動時，是否存在以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）見解析 （3）存在

【解析】試題分析：（1）由旋轉的性質得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到結論；

（2）當6＜t＜10時，由旋轉的性質得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根據等邊三角形的性質得到DE=CD，由垂線段最短得到當CD⊥AB時，△BDE的周長最小，于是得到結論；

（3）存在，①當點D于點B重合時，D，B，E不能構成三角形，②當0≤t＜6時，由旋轉的性質得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根據等邊三角形的性質得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA-DA=6-4=2，于是得到t=2÷1=2s；③當6＜t＜10s時，此時不存在；④當t＞10s時，由旋轉的性質得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14÷1=14s.

試題解析：（1）證明：∵將△ACD繞點C逆時針方向旋轉60°得到△BCE，

∴∠DCE=60°，DC=EC，

∴△CDE是等邊三角形；

（2）存在，當6＜t＜10時，

由旋轉的性質得，BE=AD，

∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，

由（1）知，△CDE是等邊三角形，

∴DE=CD，

∴C△DBE=CD+4，

由垂線段最短可知，當CD⊥AB時，△BDE的周長最小，

此時，CD=2cm，

∴△BDE的最小周長=CD+4=2+4；

（3）存在，①∵當點D與點B重合時，D，B，E不能構成三角形，

∴當點D與點B重合時，不符合題意；

②當0≤t＜6時，由旋轉可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°，

∴∠BED=90°，

由（1）可知，△CDE是等邊三角形，

∴∠DEB=60°，

∴∠CEB=30°，

∵∠CEB=∠CDA，

∴∠CDA=30°，

∵∠CAB=60°，

∴∠ACD=∠ADC=30°，

∴DA=CA=4，

∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，

∴t=2÷1=2s；

③當6＜t＜10s時，由∠DBE=120°＞90°，

∴此時不存在；

④當t＞10s時，由旋轉的性質可知，∠DBE=60°，

又由（1）知∠CDE=60°，

∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，

而∠BDC＞0°，

∴∠BDE＞60°，

∴只能∠BDE=90°，

從而∠BCD=30°，

∴BD=BC=4，

∴OD=14cm，

∴t=14÷1=14s.

綜上所述：當t=2或14s時，以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形．