Question

已知拋物線y=

1

4

ax2+ax+t與x軸的一個交點(diǎn)為A（-1，0）
（1）求拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）D是拋物線與y軸的交點(diǎn)，C是拋物線上的一點(diǎn)，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線的解析式；
（3）E是第二象限內(nèi)到x軸，y軸的距離的比為5：2的點(diǎn)，如果點(diǎn)E在（2）中的拋物線上，且它與點(diǎn)A在此拋物線對稱軸的同側(cè)，問：在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△APE的周長最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據(jù)y=

1

4

ax2+ax+t的對稱軸，又與x軸相交即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）本題需先根據(jù)已知條件得出C的縱坐標(biāo)，再根據(jù)形ABCD的面積為9，得出C點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出a的值，即可求出解析式．
（3）本題需先設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)，再把它代入拋物線的解析式中求出m的值，然后求出點(diǎn)E關(guān)于直線x=-2對稱點(diǎn)的坐標(biāo)E′，最后求出AE′的解析式即可求出答案．

解答：解：（1）∵y=

1

4

ax2+ax+t的對稱軸為x=-2
∴拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（-3，0）
（2）∵D為拋物線與y軸相交
∴D的縱坐標(biāo)為t
∵CD∥AB
∴C的縱坐標(biāo)也為t
∵梯形ABCD的高為t
∴S_梯形ABCD=9
∴

(CD+2)•t

2

=9
∴CD=

18-2t

t

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

2t-18

t

，t）
∴

1

4

（

2t-18

t

)2²+

2t-18

t

+t=t
整理得：（2t-18）（6t-18）=0
∴t₁=3，t₂=9
∴a₁=4，a₂=12
∴拋物線的解析式為：y=x²+4x+3或y=3x²+12x+9
（3）當(dāng)點(diǎn)E在拋物線y=x²+4x+3時
設(shè)E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2m，則E的縱坐標(biāo)為5m
把（-2m，5m）代入拋物線得：5m=（-2m）²+4×（-2m）+3
解得；m₁=3，m₂=

1

4

∴E的坐標(biāo)為（-6，15）（舍去）或（-

1

2

，

5

4

）
∴點(diǎn)E關(guān)于x=-2對稱的點(diǎn)E′的坐標(biāo)為（-

7

2

，

5

4

）
∴直線AE′的解析式為y=-

1

2

x-

1

2

∴P的坐標(biāo)為（-2，

1

2

）

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合問題，在解題時要注意二次函數(shù)、一次函數(shù)知識相聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．