Question

【題目】如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，AD交⊙O于點E．

（1） 求證：AC平分∠DAB；

（2） 連接BE交AC于點F，若cos∠CAD＝，求的值．

Answer 1

【答案】（1） 詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1） 連接OC，由已知條件易得∠CAD＝∠OCA，∠OCA＝∠OAC，所以∠CAD＝∠CAO，即可得AC平分∠DAB；（2）．連接BE交OC于點H，易證OC⊥BE，可知∠OCA＝∠CAD，因COS∠HCF＝，可設HC＝4,FC＝5，則FH＝3．由△AEF∽△CHF，設EF＝3x，則AF＝5x，AE＝4x，所以OH＝2x ，在△OBH中，由勾股定理列方程求解即可.

試題解析：（1）證明：連接OC，則OC⊥CD，

又AD⊥CD，

∴AD∥OC，

∴∠CAD＝∠OCA，

又OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，

∴∠CAD＝∠CAO，

∴AC平分∠DAB．

（2）解：連接BE交OC于點H，易證OC⊥BE，可知∠OCA＝∠CAD，

∴COS∠HCF＝，設HC＝4,FC＝5，則FH＝3．

又△AEF∽△CHF，設EF＝3x，則AF＝5x，AE＝4x，∴OH＝2x

∴BH＝HE＝3x＋3 OB＝OC＝2x＋4

在△OBH中，（2x）2＋（3x＋3）2＝（2x＋4）2

化簡得：9x2＋2x－7＝0，解得：x＝（另一負值舍去）．

∴．