Question

如圖，在等腰梯形AB∥⊥CD中，BC∥AD，BC＝8，AD＝20，AB＝DC＝10，點P從A點出發沿AD邊向點D移動，點Q自A點出發沿A→B→C的路線移動，且PQ∥DC，若AP＝x，梯形位于線段PQ右側部分的面積為S．

　　

(1)分別求出當點Q位于AB、BC上時，S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)當線段PQ將梯形AB∥⊥CD分成面積相等的兩部分時，x的值是多少？

(3)當(2)的條件下，設線段PQ與梯形AB∥⊥CD的中位線EF交于O點，那么OE與OF的長度有什么關系？借助備用圖說明理由；并進一步探究：對任何一個梯形，當一直線l經過梯形中位線的中點并滿足什么條件時，一定能平分梯形的面積？(只要求說出條件，不需要證明)

Answer 1

答案：
解析：

(1)如圖甲，當點Q位于AB上時，PQ的右側圖形為等腰上△AQP，底邊AP=x，過Q、B點分別作QM⊥AD，BN⊥∠AD，垂足分別為M、N，又過B作BG∥DC交AD于G點，則有AG=12，BG=DC=AB=10，在Rt△ABN中，AB=10，AN=6，∴BN=8，∵△AQP為等腰三角形，∴AM=AP－x，又QM⊥AD，QM⊥AD，BN⊥AD，∴QM∥BN，∴，∴QM=＝x，∴S=AP·QM=x·x=x2，∴當點Q在AB上時，S=x2，自變量x的取值范圍是0≤x≤12．當點Q在BC上時，PQ右側四邊形ABQP為梯形，則S=(QB＋AP)·BN=[(x－12)＋x]×8=8x－48，自變量x的取值范圍是12≤x≤20 　　(2)梯形ABCD的面積S0＝＋(BC＋AD)·BN=(8＋20)×8=112，易知點Q在AB移動時，△AQP的面積最在值為AG·BN=×12×8=48＜，故線段PQ等分梯形ABCD的面積時點Q只可能在BC上，∴8x－48==56，∴x=13 基　(3)如圖乙，當PQ等分梯形ABCD面積時，可知S四邊形QCDP=S四邊形ABQP，又EF是梯形的中應線，∴OE·BN=OF·BN，即OE=OF，探究發現：當直線l經過梯形中位線的中點且與較短的底(上底)相交時，其一定平分梯形的面積．