Question

如圖，以OA₁＝2為底邊做等腰三角形，使得第三個頂點C₁恰好在直線y=x+2上，并以此向左、右依次類推，作一系列底邊為2，第三個頂點在直線y=x+2上的等腰三角形．

（1）請你通過計算說明：底邊為2，頂點在直線y=x+2上且面積為21的等腰三角形位于圖

中什么位置？

（2）求證：y軸右側的每一個等腰三角形的面積都等于前后兩個以腰為一邊的三角形面積之和的一半（如：S_右1=，S_右2=）．

（3）過D₁、A₁、C₂三點畫拋物線．問在拋物線上是否存在點P，使得△PD₁C₂的面積是△C₁OD₁與△C₁A₁C₂面積和的．若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1），，或。     

，或，解得 或      

∴在y軸的右邊從左到右第10個或y軸的左邊從右到左第12個．

（2）y軸右側第n個等腰△A_n-₁A_nC_n的底邊兩端點坐標為A_n-₁（，0），A_n（，0），

∴面積為，                 

前后兩個非等腰三角形的面積和為．

∴y軸右側的每一個等腰三角形的面積都等于前后兩個以腰為一邊的三角形面積之和的一半．                                          

（3）過D₁, A₁, C₂三點的拋物線解析式為：，

△C₁OD₁與△C₁A₁C₂面積和等于2×2×3＝6，

當點P在直線下方時：，

解得：，；   ∴，

∴P1（0，—2），P2（2，0）。                         

當點P在直線上方時：

得：，即，

解得：，，   ∴，。

∴P3（，），P4（，）。    

∴存在符合題意的點P，它們的坐標是：（0，—2），（2，0），（，），（，）。                              

【解析】（1）利用三角形面積公式求解；

（2）先計算出相鄰三個三角形面積，然后比較它們的關系；

（3）先求出過D₁, A₁, C₂三點的拋物線解析式，然后點P分兩種情況進行討論。