Question

【題目】如圖，△ABC中，下面說法正確的個數是（　�。﹤�．
①若O是△ABC的外心，∠A=50°，則∠BOC=100°；
②若O是△ABC的內心，∠A=50°，則∠BOC=115°；
③若BC=6，AB+AC=10，則△ABC的面積的最大值是12；
④△ABC的面積是12，周長是16，則其內切圓的半徑是1．

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①若O是△ABC的外心，∠A=50°，則∠BOC=100°，根據圓周角定理直接得出即可，故此選項正確；
②若O是△ABC的內心，∠A=50°，則∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=115°，故此選項正確；
③若BC=6，AB+AC=10，則△ABC的面積的最大值是12；
由題意，三角形的周長是16，由令AB=x，則AC=10﹣x，
由海倫公式可得三角形的面積S==≤4×=12，
等號僅當8﹣x=x﹣2即x=5時成立，
故三角形的面積的最大值是12，故此選項正確；
④△ABC的面積是12，周長是16，設內切圓半徑為x，則x×16=12，
解得：x=1.5，
則其內切圓的半徑是1，此選項錯誤．
故正確的有①②③共3個．
故選：C．
①根據圓周角定理直接求出∠BOC的度數即可；
②利用內心的定義得出∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）進而求出即可；
③研究三角形面積最大值的問題，由于已知三邊的和，故可以借助海倫公式建立面積關于邊的函數，再利用基本不等式求最值；
④根據內心到三角形三邊距離相等得出內切圓半徑乘以周長等于面積，即可得出答案．