Question

（2013•孝感）如圖，△ABC內接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直徑，點P是CD延長線上的一點，且AP=AC．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若PD=

3

，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析：（1）連接OA，根據圓周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=30°，再由AP=AC得出∠P=30°，繼而由∠OAP=∠AOC-∠P，可得出OA⊥PA，從而得出結論；
（2）利用含30°的直角三角形的性質求出OP=2OA，可得出OP-PD=OD，再由PD=

3

，可得出⊙O的直徑．

解答：（1）證明：連接OA，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切線．
（2）在Rt△OAP中，∵∠P=30°，
∴PO=2OA=OD+PD，
又∵OA=OD，
∴PD=OA，
∵PD=

3

，
∴2OA=2PD=2

3

．
∴⊙O的直徑為2

3

．

點評：本題考查了切線的判定及圓周角定理，解答本題的關鍵是掌握切線的判定定理、圓周角定理及含30°直角三角形的性質．