Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC=10，BC=12，P是上的一個動點，過點P作BC的平行線交AB的延長線于點D．

（1）當點P在什么位置時，DP是⊙O的切線？請說明理由；

（2）當DP為⊙O的切線時，求線段DP的長．

Answer 1

【答案】（1）當點P 是的中點時，DP是⊙O的切線（2）

【解析】試題分析：（1）根據題意猜想當點P是的中點時，DP是⊙O的切線，因為DP∥BC，所以只需要證明PA⊥BC，可得DP⊥PA，而在△ABC中利用三線合一可證PA⊥BC；（2）連接OB，設PA交BC于點E．在RtΔABE和RtΔOBE中，由勾股定理，可求AE和⊙O的半徑的長，然后證明ΔABE∽ΔADP，利用相似三角形的性質可得DP=．

試題解析：解：（1）當點P是的中點時，DP是⊙O的切線． （1分）

理由如下：

連接AP，∵AB=AC，∴=．

又∵=，∴=．

∴PA是⊙O的直徑． （2分）

∵=，∴∠1=∠2．

又∵AB=AC，∴PA⊥BC． （3分）

又∵DP∥BC，∴DP⊥PA．

∴DP是⊙O的切線． （4分）

（2）連接OB，設PA交BC于點E．

由垂徑定理，得BE=EC=6． （5分）

在RtΔABE中，由勾股定理，

得AE===8． （6分）

設⊙O的半徑為r，則OE=8-r，

在RtΔOBE中，由勾股定理，

得，解得r=． （8分）

∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D．

又∵∠1=∠1，∴ΔABE∽ΔADP，

∴，即，解得DP=． （10分）