Question

如圖，已知四邊形ABCD是四個角都是直角，四條邊都相等的正方形，點E在BC上，且CE=

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4

BC，點F是CD的中點，延長AF與BC的延長線交于點M．以下結論：①AB=CM；②AE=AB+CE；③S_△AEF=

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4

S四邊形ABCF；④∠AFE=90°，其中正確的結論的個數有（　�。�

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

分析：由“點F是CD的中點，延長AF與BC的延長線交于點M”知AD=CM，即AB=CM，由邊長關系可知AE=EM，F為中點知，EF⊥AM，再根據面積S_{四邊形ABCF}=S_□ABCD-S_△ADF得面積關系．

解答：解：由題意知，∵點F是CD的中點，∴DF=CF，
又∵∠D=∠FCM，∠DFA=∠CFM，
∴△ADF≌△MCF，
∴CM=AD=AB，
①正確；
設正方形ABCD邊長為4，
∵CE=

1

4

BC=1，
∴BE=3，
∴AE=5，
∴AE=AB+CE，
②正確；
EM=CM+CE=5=AE，
又∵F為AM的中點，
∴EF⊥AM，
④正確，
由CF=2，CE=1得EF=

5

，
由DF=2，AD=4得AF=2

5

，
∴S_△AEF=5，
又S_△ADF=4，
∴S_{四邊形ABCF}=S_□ABCD-S_△ADF=12，
③不正確，
故正確的有3個，選C．

點評：本題考查了正方形的性質與全等三角形的判定與性質．注意對角線相互垂直平分相等的綜合性質的應用，是基礎題，要熟練掌握．