Question

如圖，拋物線y=x²+bx－2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（一1，0）．

⑴求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
⑵判斷△ABC的形狀，證明你的結論；
⑶點M(m，0)是x軸上的一個動點，當CM+DM的值最小時，求m的值．

Answer 1

（1）∵點A（-1，0）在拋物線y=x² + bx-2上，∴× (-1 )² + b× (-1)–2 = 0，解得b =
∴拋物線的解析式為y=x²-x-2. y=x²-x-2 = ( x² -3x- 4 ) =(x-)²-,
∴頂點D的坐標為 (, -).
（2）當x = 0時y = -2,      ∴C（0，-2），OC = 2。
當y = 0時， x₂-x-2 = 0，     ∴x₁ =" -1," x₂ = 4,    ∴B (4,0)
∴OA = 1,    OB = 4,    AB = 5.
∵AB² = 25,    AC² = OA² + OC² = 5,    BC² = OC² + OB² = 20,
∴AC² +BC² = AB².               ∴△ABC是直角三角形.
（3）作出點C關于x軸的對稱點C′，則C′（0，2），OC′=2，連接C′D交x軸于點M，根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC + MD的值最小。

解法一：設拋物線的對稱軸交x軸于點E.
∵ED∥y軸, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM.
∴
∴，∴m =．
解法二：設直線C′D的解析式為y =" kx" + n ,
則，解得n =" 2,"  .
∴ .
∴當y = 0時， ，
 .    ∴.

（1）根據拋物線過A（-1，0）點，直接求出b的值，再根據配方法求出二次函數頂點坐標即可；
（2）分別求出三角形三邊，即可得出三角形的形狀；
（3）首先可求得二次函數的頂點坐標，再求得C關于x軸的對稱點C′，求得直線C′D的解析式，與x軸的交點的橫坐標即是m的值．