Question

【題目】在平行四邊形ABCD中，AD=BD，E為AB的中點，F為CD上一點，連接EF交BD于G．

（1）如圖1，若DF=DG=2，AB=8，求EF的長；

（2）如圖2，∠ADB=90°，點P為平行四邊形ABCD外部一點，且AP=AD，連接BP、DP、EP，DP交EF于點Q，若BP⊥DP，EF⊥EP，求證：DQ=PQ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）利用平行線分線段成比例定理求出BG，利用勾股定理求出DE即可解決問題；

（2）如圖2中，設AB交PD于點O．證明△DEQ≌△BEP（ASA），推出EQ=EP，DQ=PB，PQ=PE，由△ADE∽△ABD，可得AD2=AEAB，可得AP2=AEAB，推出△EAP∽△PAB，可得，推出PB=PE，由此即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

∵DA=DB，AE=EB，

∴DE⊥AB，

∵四邊形ABCD 是平行四邊形，

∴CD∥AB，

∴DE⊥CD，

∵DF∥EB，

∴，

∴，

∴BG=4，

在Rt△DEB中，∵∠DEB=90°，EB=4，DB=6，

∴DE=，

在Rt△DEF中，則有EF=；

（2）如圖2中，設AB交PD于點O，

∵EF⊥PE，

∴∠PEF=∠DEB=90°，

∴∠DEQ=∠BEP，

∵DP⊥PB，

∴∠DEO=∠OPB=90°，

∵∠DOE=∠BOP，

∴∠EDQ=∠EBP，

∵△ADB是等腰直角三角形，AE=EB，

∴DE=AE=EB，

∴△DEQ≌△BEP（ASA），

∴EQ=EP，DQ=PB，

∵∠PEQ=90°，

∴PQ=PE，

∵△ADE∽△ABD，可得AD2=AEAB，

∵AD=AP，

∴AP2=AEAB，

∴，

∵∠EAP=∠BAP，

∴△EAP∽△PAB，

∴，

∴PB=PE，

∴DQ=PE，

∴DQ=PQ.