Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，A、B為x軸上兩點，C、D為y軸上的兩點，經過點A、C、B的拋物線的一部分C1與經過點A、D、B的拋物線的一部分C2組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線稱為“蛋線”．已知點C的坐標為（0，），點M是拋物線C2：（＜0）的頂點．

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）當△BDM為直角三角形時，求的值．

（3）“蛋線”在第四象限上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由；

Answer 1

【答案】（1）A（-1，0），B（3，0）；（2）-;（3）P（，-）；.

【解析】

試題分析: （1）將y=mx2-2mx-3m化為交點式，即可得到A、B兩點的坐標；

（2）先表示出DM2，BD2，MB2，再利用DM2+MB2=BD2，即可求得m的值；

（3）先用待定系數法得到拋物線C1的解析式，過點P作PQ∥y軸，交BC于Q，用待定系數法得到直線BC的解析式，再根據三角形的面積公式和配方法得到△PBC面積的最大值．

試題解析：（1）由題意可得：y=mx2-2mx-3m=m（x-3）（x+1），

∵m≠0，

∴當y=0時，0=m（x-3）（x+1），

解得：x1=-1，x2=3，

∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）如圖1，

∵y=mx2-2mx-3m=m（x-1）2-4m，

∴頂點M坐標（1，-4m），

當x=0時，y=-3m，

∴D（0，-3m），B（3，0），

∴DM2=（0-1）2+（-3m+4m）2=m2+1，

MB2=（3-1）2+（0+4m）2=16m2+4，

BD2=（3-0）2+（0+3m）2=9m2+9，

當△BDM為Rt△，∠M為直角的直角三角形時，有：DM2+MB2=BD2．

DM2+MB2=BD2時有：m2+1+16m2+4=9m2+9，

解得m=-（m=舍去）．

故m=-時，△BDM為以∠M為直角的直角三角形；

（3）設C1：y=ax2+bx+c，將A、B、C三點的坐標代入得：

， 解得，

故C1：y=x2-x-．

如圖2：過點P作PQ∥y軸，交BC于Q，

由B、C的坐標可得直線BC的解析式為：y=x-，

設P（x，x2-x-），則Q（x，x-），

PQ=x--（x2-x-）=-x2+x，

S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=PQOB=×（-x2+x）×3=-（x-）2+，

當x=時，S△PBC有最大值，Smax=，

則×（）2--=-，

故P（，-）．