Question

21、如圖，已知⊙O₁和⊙O₂相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作⊙O₁的切線交⊙O₂于點(diǎn)C，直線CB交⊙O₁于點(diǎn)D，直線DA交⊙O₂于點(diǎn)E．試證明：AC=EC．

Answer 1

分析：連接AB；根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ABD=∠E；由弦切角定理證得∠FAD=∠ABD=∠E，由于∠FAD=∠CAE，可證得∠CAE=∠E，從而得到AC=EC．

解答：證明：連接AB；
∵AC是⊙O₁的切線，切點(diǎn)為A，
∴∠FAD=∠ABD；
又∠FAD=∠CAE，
∴∠ABD=∠CAE；
而∠ABD是⊙O₂的內(nèi)接四邊形ABCE的一個(gè)外角，
∴∠ABD=∠E，
∴∠EAC=∠E；
∴AC=EC．

點(diǎn)評：連接公共弦是相交兩圓中常見的一條輔助線；熟練運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和弦切角定理，進(jìn)行角之間的轉(zhuǎn)換是解答本題的關(guān)鍵．