Question

【題目】如圖，以△ABC的BC邊上一點O為圓心的圓，經過A、B兩點，且與BC邊交于點E，D為BE的下半圓弧的中點，連接AD交BC于F，若AC＝FC，

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若BF＝8，DF＝，求⊙O的半徑．

（3）過點B作⊙O的切線交CA的延長線于G，如果連接AE，將線段AC以直線AE為對稱軸作對稱線段AH，點H正好落在⊙O上，連接BH，求證：四邊形AHBG為菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）6；（3）見解析

【解析】

（1）連接OA，OD，證∠OAF＝∠D，∴∠CAF＝∠CFA＝∠OFD，∠EOD＝90°，可推出∠CAF+∠∠OAF＝90°，進一步推出結論；

（2）如圖1，設半徑為r，在Rt△OFD中，通過勾股定理即可求出半徑的值；

（3）連接EH，證△CAE≌△HAE，推出△AEO是等邊三角形，進一步證明△ABH和△ABG是等邊三角形，即可推出結論．

解:（1）證明：如圖1，連接OA，OD，

則∠OAF＝∠D，

∵D為BE的下半圓弧的中點，

∴，

∴∠EOD＝∠BOD＝×180°＝90°，

∴∠OFD+∠D＝90°，

∵CA＝CF，

∴∠CAF＝∠CFA＝∠OFD，

∴∠CAF+∠∠OAF＝90°，

即∠CAO＝90°，

∴OA⊥CA，

∴AC是⊙O的切線；

（2）如圖1，設半徑為r，

則OF＝BF﹣OB＝8﹣r，

∵在Rt△OFD中，OF2+OD2＝DF2，

∴（8﹣r）2+r2＝（）2，

解得，r1＝6，r2＝2（舍去），

∴⊙O的半徑為6；

（3）如圖2，連接EH，

由對稱性可知AC＝AH，∠CAE＝∠HAE，

又∵AE＝AE，

∴△CAE≌△HAE（SAS），

∴∠C＝∠EHA，

∵，

∴∠EHA＝∠ABE，

∴∠C＝∠ABE，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA，

∵BE為⊙O的直徑，

∴∠EAB＝90°，

∴∠OAB+∠OAE＝90°，

又∵∠CAE∠+∠OAE＝90°，

∴∠CAE＝∠OAB，

∴∠C＝∠OBA＝∠∠OAB＝∠CAE，

∴AC＝AB，

∴△CAE≌△BAO（ASA），

∴AE＝AO＝OE，

∴△AEO是等邊三角形，

∴∠AEO＝60°，

∴∠ABE＝90°﹣∠AEO＝30°，∠AHB＝∠AEO＝60°，

∴∠ABG＝90°﹣∠ABE＝60°，

∵CA＝AH，CA＝AB，

∴AH＝AB，

又AHB＝60°，

∴△ABH是等邊三角形，

∴AB＝BH＝AH，

∵GB，GA是⊙O的切線，

∴GB＝GA，

又∠ABG＝60°，

∴△ABG是等邊三角形，

∴AB＝BG＝AG，

∴BH＝AH＝BG＝AG，

∴四邊形AHBG是菱形．