Question

【題目】如圖，已知點A、B、P、D、C都在在⊙O上，且四邊形BCEP是平行四邊形．

（1）證明：＝；

（2）若AE＝BC，AB＝，的長度是，求EC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接PC，即可證得∠EPC＝∠PCB，從而證得∠COD＝∠POB，即可證得結論；

（2）根據圓內接四邊形的性質得出∠EDC＝∠PBC＝∠PAC，即可證得△APE和△CDE是等邊三角形，得出∠PBC＝∠E＝60°，根據平行線的性質得出∠APB＝∠EAP＝60°，即可得出∠AOB＝120°，作OF⊥AB于F，則∠AOF＝∠AOB＝60°，AF＝BF＝AB＝，解直角三角形求得OA＝1，即圓的半徑為1，由的長度是得出∠PBD＝15°，即可證得∠DBC＝45°，得到∠DOC＝90°，解等腰直角三角形求得CD＝，由等邊三角形的性質得出CE＝CD＝．

（1）證明：連接PC，如圖1，

∵四邊形BCEP是平行四邊形，

∴PE∥BC，∠E＝∠PBC，

∴∠EPC＝∠PCB，

∴＝；

（2）解：如圖2，連接AP、BD、CD、OA、OB、OC、OD、OP

∵四邊形PBCD是圓內接四邊形，四邊形APDC是圓內接四邊形，

∴∠EDC＝∠PBC＝∠PAC，

∴△APE和△CDE是等邊三角形，

∴∠EAP＝60°，

∵PB∥EA，

∴∠APB＝∠EAP＝60°，

∴∠AOB＝120°，

作OF⊥AB于F，則∠AOF＝∠AOB＝60°，AF＝BF＝AB＝，

∴OA＝＝1，

∵的長度是，

∴＝，

∴n＝30°，

∴∠POD＝30°，

∴∠PBD＝15°，

∵∠PBC＝∠E＝60°，

∴∠DBC＝45°，

∴∠DOC＝90°，

∵OC＝OD＝1，

∴CD＝，

∵△ECDs是等邊三角形，

∴EC＝CD＝．