Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點0是坐標原點．邊長為6的正方形OABC的頂點A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，點E是對角線AC上一點，連接OE、BE，BE的延長線交OA于點P，若△OCE的面積為12．

（1）求點E的坐標：
（2）求△OPE的周長．

Answer 1

【答案】
（1）解：過點E作EM⊥y軸于點M，

則 OCEM=12，

即 ×6×EM=12，

∴EM=4，

∵四邊形OABC是正方形，

∴∠MCE=45°，

∴△MEC是等腰直角三角形，

∴MC=ME=4，

∴MO=6﹣4=2，

∴點E的坐標是（4，2）；

（2）解：設直線BE的解析式為y=kx+b，

把B（6，6）和點E（4，2）的坐標代入函數解析式得：

解得：k=2，b=﹣6，

∴直線BE的解析式為y=2x﹣6，

令2x﹣6=0得：x=3，

∴點P的坐標為（3，0），

∴OP=3，

∵四邊形ABCO是正方形，

∴OC=CB，∠BCE=∠OCE，

在△OCE和△BCE中

∴△OCE≌△BCE（SAS），

∴OE=BE，

在Rt△PBA中，由勾股定理可得：PB= =3 ，

∴△OPE的周長=OE+PE+OP=3+PB=3+3 ．

【解析】（1）題中已知△OCE的面積為12．因此過點E作EM⊥y軸于點M，利用三角形面積公式可求出ME的長，再證明△CME是等腰直角三角形，就可求出OM的長，即可求出點E的坐標。
（2）根據已知求出點B的坐標，利用待定系數法求出直線BE的解析式，再求出點P的坐標，即可求出OP的長，再證明△OCE≌△BCE，得到OE=BE，因此△OPE的周長就等于OP+BP，利用勾股定理求出PB的長，即可求得此三角形的周長。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解確定一次函數的表達式的相關知識，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法，以及對勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．