Question

如圖在平面直角坐標系中，A點坐標為（8，0），B點坐標為（0，6），C是線段AB的中點．請問在x軸上是否存在一點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：以P、A、C為頂點的三角形與△AOB中，∠A是公共角，如果兩三角形相似，有兩種情況，即P與B，P與O分別對應，因此要分類討論．

解答：解：存在這樣的P點．理由如下：
∵∠AOB=90°，OA=8，OB=6；
∴AB=10．
∵C是線段AB的中點，
∴AC=5．
①如果P與B對應，那么△PAC∽△BAO，
∴PA：BA=AC：AO，∴AP=

25

4

，
∴OP=OA-AP=

7

4

，∴P（

7

4

，0）．
②或如果P與O對應，那么△PAC∽△OAB；
∴PA：OA=AC：AB，
∴PA=4，
∴OP=OA-AP=4
∴P（4，0）．

點評：本題屬于開放性試題，通過對點P位置的判斷有利于考查學生的發散思維能力．