Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，將△ACD沿AC折疊為△ACF，將△ABD沿AB折疊為△ABG，延長FC和GB相交于點H．

（1）求證：四邊形AFHG為正方形；

（2）若BD=6，CD=4，求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）由折疊的性質可得到的條件是：①AG=AD=AF，②∠GAF=∠GAD+∠DAF=2∠BAC=90°，且∠G=∠F=90°；由②可判定四邊形AGHF是矩形，由AG=AF可證得四邊形AGHF是正方形；

（2）設AD=x，由折疊的性質可得：AD=AF=x（即正方形的邊長為x），BG=BD=6，CF=CD=4；進而可用x表示出BH、HC的長，即可在Rt△BHC中，由勾股定理求得AD的長，進而可求出AB的長．

試題解析：（1）∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°；

由折疊可知，AG=AF=AD，∠AGH=∠AFH=90°，

∠BAG=∠BAD，∠CAF=∠CAD，

∴∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°；

∴∠GAF=∠BAG+∠CAF+∠BAC=90°；

∴四邊形AFHG是正方形；

（2）∵四邊形AFHG是正方形，

∴∠BHC=90°，

又GH=HF=AD，GB=BD=6，CF=CD=4，

設AD的長為x，則BH=GH﹣GB=x﹣6，CH=HF﹣CF=x﹣4，

在Rt△BCH中，BH2+CH2=BC2，

∴（x﹣6）2+（x﹣4）2=102，

解得x1=12，x2=﹣2（不合題意，舍去），

∴AD=12，

∴AB=.