Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，∠A=60°，點F是直徑BD的延長線上一點，且CF=CB．

（1）求∠CBF的度數；

（2）判斷直線CF與⊙O的位置關系，并證明；

（3）若AB=3，BC=2，tan∠AEB=3，求線段DE的長．

Answer 1

【答案】（1）∠CBF=30°；

（2）CF是⊙O的切線，證明見解析；

（3）．

【解析】

試題分析：（1）連接OA，根據圓周角定理求出∠BOC，再由OB=OC得出∠OBC=∠OCB=30°，從而求得∠CBF的度數；

（2）由CF=CB得出∠F=30°，進而求得∠BCF=120°，繼而由∴∠OCF=∠BCF﹣∠OCB=90°，可得出OC⊥FC，從而得出CF是⊙O的切線．

（3）作BG⊥AC于G，CH⊥BF于H，根據直角三角函數和勾股定理求得AE、BE、CE，然后根據相交弦定理就可求得DE的長．

試題解析：（1）連接OC，∵∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，又∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=30°，即∠CBF=30°．

（2）相切；

理由如下：∵CF=CB，∴∠CBF=∠F=30°，∴∠BCF=120°，

∴∠OCF=∠BCF﹣∠OCB=90°，∴OC⊥FC，∴CF是⊙O的切線．

（3）作BG⊥AC于G，CH⊥BF于H，∵∠A=60°，AB=3，

∴AG=AB=，BG=AB=，∵tan∠AEB=3，∴=3，

∴EG==，∴AE=AG+GE=，∴BE==，

∵∠FBC=30°，BC=2，∴HC=BC=，∵tan∠AEB=3，，∴tan∠HEC=3，

∴=3，，∴HE=，∴EC==，∵DE×BE=CE×AE，

∴DE==．