Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AD=5，AB=8，點E為射線DC上的一個動點，把△ADE沿AE折疊點．D的對應點為D′．
（1）求點D′剛好落在對角線AC上時，D′C的長；
（2）求點D′剛好落在此對稱軸上時，線段DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，在Rt△ABC中，

∵∴AD′=AD=5，

∵AC= = = ，

∴CD′=AC﹣AD′= ﹣5

（2）解：①當D′落在對稱軸GH上，

∵GH是矩形對稱軸，

∴AC= AD，

由翻折的性質得：AD′=AD，∠DAE= ∠DAD′，

∴GA= AD′，

∴在Rt△AGD′中，∠GAD′=60°，

∴∠DAE= ∠DAD′=30°，

在Rt△ADE中，

∵tan∠DAE= ，即：tan30°= ，

∴DE= ，

②當D′落在對稱軸MN上，又分兩種情況，

第一種：點E在DC上，如圖3，

∵MN是矩形對稱軸，

∴DM=AN=4，

由翻折得：AD′=AD，

在Rt△AND′中，

D′N= =3，

∴D′M=MN﹣D′N=5﹣3=2，

設DE=ED′=x，

在Rt△EAD′中，

ED′2=EM2+MD′2，

即：x2=（4﹣x）2+22，

解之得：x= ，即DE= ，

第二種：點E在DC延長線上，如圖4，方法同上，DE=10．

綜上所述，點D′落在矩形對稱軸上時，DE的長為 或 或10．

【解析】（1）如圖1，在Rt△ABC中，根據勾股定理即可得到結論；（2）①當D′落在對稱軸GH上，由翻折的性質得到AD′=AD，∠DAE= ∠DAD′，求得GA= AD′，根據三角形的內角和得到∠DAE= ∠DAD′=30°，根據三角函數的定即可得到結論；②當D′落在對稱軸MN上，又分兩種情況，第一種：點E在DC上，如圖3，得到DM=AN=4，由翻折的性質得到AD′=AD，在Rt△AND′中，由勾股定理得到D′N= =3，得到D′M=MN﹣D′N=5﹣3=2，設DE=ED′=x，在Rt△EAD′中，根據勾股定理得到DE= ，第二種：點E在DC延長線上，同理得到結論．
【考點精析】本題主要考查了矩形的性質和翻折變換（折疊問題）的相關知識點，需要掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等才能正確解答此題．