Question

【題目】已知CD為RtABC斜邊AB上的高，以CD為直徑的圓交BC于E點，交AC于F點，G為BD的中點．

（1）求證：GE為⊙O的切線；

（2）若tanB＝，AD＝5，求GE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）10

【解析】

（1）連DE、OE，利用圓周角定理可得∠CED＝∠BED＝90°，因為G為BD的中點，由直角三角形的性質可得GE＝GD，再由OE＝OD，易得∠OED＝∠ODE，可得∠GEO＝∠GDO，由CD⊥AB，可得∠GEO＝∠GDO＝90°，可得結論；

（2）首先由垂直的定義易得∠B＝∠ACD，利用銳角三角函數的定義即可得到結論．

（1）證明：連DE、OE，

∵CD為⊙O的直徑，

∴∠CED＝∠BED＝90°，

∵G為BD的中點，

∴GE＝GD，

∴GED＝∠GDE，

∵OE＝OD，

∴∠OED＝∠ODE，

∴∠GEO＝∠GDO，

∴CD⊥AB，

∴∠GEO＝∠GDO＝90°，

∴GE為⊙O的切線；

（2）解：∵CD⊥AB，

∴∠ACD＝90°﹣∠A，

∵∠BCA＝90°，

∴∠B＝90°﹣∠A，

∴∠B＝∠ACD，

∵tanB＝＝＝tan∠DCA＝＝，

∴BD＝4AD＝20，

∵G為BD的中點，

∴EG＝BD＝10．