Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)M在BC邊上，且∠MDF=∠ADF．

（1）求證：△ADE≌△BFE．
（2）連接EM，如果FM=DM，判斷EM與DF的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD∥BC，

∴∠ADE=∠BFE，

∵E為AB的中點(diǎn)，

∴AE=BE，

在△AED和△BFE中， ，

∴△AED≌△BFE（AAS）

（2）解：EM與DM的關(guān)系是EM垂直且平分DF；理由如下：

連接EM，如圖所示：

由（1）得：△AED≌△BFE，

∴DE=EF，

∵∠MDF=∠ADF，∠ADE=∠BFE，

∴∠MDF=∠BFE，

∴FM=DM，

∴EM⊥DF，

∴ME垂直平分DF．

【解析】（1）由平行線的性質(zhì)得出∠ADE=∠BFE，由E為AB的中點(diǎn)，得出AE=BE，由AAS證明△AED≌△BFE即可；（2）由△AED≌△BFE，得出對(duì)應(yīng)邊相等DE=EF，證明FM=DM，由三角形的三線合一性質(zhì)得出EM⊥DF，即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．