Question

【題目】拋物線 y=x2+mx+n 過點（-1,8）和點（4,3）且與 x 軸交于 A,B 兩點， 與 y 軸交于點 C

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，AD 交拋物線于 D，交直線 BC 于點 G，且 AG=GD，求點 D 的坐標；

（3）如圖2，過點 M（3,2）的直線交拋物線于 P，Q，AP 交 y 軸于點 E，AQ 交y 軸于點 F，求OE·OF的值.

Answer 1

【答案】（1）y=x2-4x+3；（2）D（， ）或（，）；（3）2.

【解析】

（1）利用待定系數法求函數解析式即可；（2）先求得點A、B、C的坐標及直線BC的解析式，過點G作GR⊥x軸于點R，過點D作DK⊥x軸于點K（如圖），由AG=GD，可得GR=DK，設點D的坐標為（a，a2-4a+3），則點G的坐標為（ ，-+3），可得方程-+3=（a2-4a+3），解方程求得a的值，即可得點D的坐標；（3）設AQ的解析式為y=ax-a，AP的解析式為y=bx-b，分別根拋物線的解析式聯立，求得點P、Q的橫坐標，在設PQ的解析式為y=kx+b，代入M（3，2）可得y=kx+2-3k. 將PQ的解析式為與拋物線解析式聯立得到關于x的一元二次方程，然后依據一元二次方程根與系數的關系可求得ab=﹣2，再由ab的值可得到OEOF的值即可．

（1）把點（-1,8）和點（4,3）代入y=x2+mx+n得，

，

解得，

∴y=x2-4x+3；

（2）令x2-4x+3=0，解得x=1或x=3，

∴A（1，0），B（3，0）；

把x=0代入y=x2-4x+3得y=3，

∴C（0，3）；

∴直線BC的解析式為y=-x+3.

如圖，過點G作GR⊥x軸于點R，過點D作DK⊥x軸于點K，

∴GR∥DK，

∵AG=GD，

∴GR=DK，

設點D的坐標為（a，a2-4a+3），則點G的坐標為（ ，-+3），

即GR=-+3，DK= a2-4a+3，

∴-+3=（a2-4a+3），

整理得a2-3a-2=0，

解得，，，

∴D（， ）或（，）.

（3）∵A（1，0），

設AQ的解析式為y=ax-a，AP的解析式為y=bx-b，

∴ ，解得x=1或x=a+3，

∴點Q的橫坐標為a+3，

同理求得點P的橫坐標為b+3.

設PQ的解析式為y=kx+b，把點 M（3,2）代入可得3k+b=2，即b=2-3k.

∴y=kx+2-3k.

∴kx+2-3k= x2-4x+3，即x2-（4+k）x+1+3k=0，

∵P、Q是拋物線y=x2-4x+3與直線PQ的交點，

∴a+3、b+3是方程x2-（4+k）x+1+3k=0的兩個根，

∴a+3+b+3=4+k，（a+3）（b+3）=1+3k，

即a+b=k-2，ab+3（a+b）+9=1+3k，

∴ab+3（k-2）+9=1-3k，

整理得ab=-2，

∵OE=-b，OF=a，

∴OEOF=-ab=2.