Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，，直線與拋物線交于點，，與軸交于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點是線段上的一動點（不與，重合），過點作軸的垂線，交軸于點，交拋物線于點，若，線段是否存在最大值？若存在，請求出最大值，若不存在，請說明理由；

（3）若軸上存在一點，使得時，求出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，有最大值為；（3）點的坐標為或．

【解析】

（1）確定拋物線解析式，關鍵是要確定拋物線經過的兩點坐標，點是拋物線與軸的交點，且位于軸上，因此易求出點的坐標，再根據，可求出點，的坐標，然后再將坐標代入兩點式即可得解；

（2）求出拋物線解析式后，利用，先求出點的橫坐標，代入拋物線求出點的縱坐標，然后求出直線的解析式，最后再利用兩函數解析式的縱坐標之差表示線段長，進而在取值范圍內求最值即可；

（3）根據（2）中的直線解析式易知，由可知，則直線上下兩側產生和的角，再利用銳角三角函數求出線段長，然后通過線段長轉化為坐標即可．

解：（1）∵拋物線的解析式為，當時，，

∴．

∵，

∴點，點．

設拋物線的解析式為，可得，

將點代入可得，

∴拋物線解析式為；

（2）存在最大值．

如解圖①，過點作軸于點，則，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴點．

當時，，

∴點．

設直線BE的解析式為

將點、代入解析式中得，

，解得．

∴直線的解析式為．

設點的坐標為，

則點的坐標為，

∴

∴當時，有最大值，最大值為；

（3）分兩種情況：①如解圖①，當直線在直線的上方時，

∵點的坐標為，

∴．

在直線中，當時，，

∴，

∴，

∴．

∴，

∴，

∴，

∴，

∴點的坐標為；

②如解圖②，當直線在的下方時，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴點的坐標為．

綜上所述，點的坐標為或．