Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直徑，點P是CD延長線上一點，且AP=AC．

（1）求證：PA是⊙O的切線；

（2）若PD=1，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】(1)證明詳見解析；(2)2.

【解析】

試題分析：（1）連接OA，根據圓周角定理首先求得∠AOC的度數，然后根據等腰三角形的性質求得∠OAP=90°，從而求解；

（2）根據直角三角形的性質，直角三角形中30°所對的邊等于斜邊的一半，即可求解．

試題解析：（1）連接OA，

∵∠B=60°，

∴∠AOC=2∠B=120°，

又∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=30°，

又∵AP=AC，

∴∠P=∠ACP=30°，

∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，

∴OA⊥PA，

∴PA是⊙O的切線．

（2）設該圓的半徑為x．

在Rt△OAP中，∵∠P=30°，

∴PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，

∴1+x=2x，解得：x=1

∴OA=PD=1，

所以⊙O的直徑為2．