Question

【題目】二次函數的圖像交y軸于C點，交軸于A，B兩點（點A在點B的左側），點A、點B的橫坐標是一元二次方程的兩個根．

（1）求出點A、點B的坐標及該二次函數表達式．

（2）如圖2，連接AC、BC，點Q是線段OB上一個動點（點Q不與點O、B重合），過點Q作QD∥AC交于BC點D，設Q點坐標（m，0），當△CDQ面積S最大時，求m的值．

（3）如圖3，線段MN是直線y=x上的動線段（點M在點N左側），且MN=，若M點的橫坐標為n，過點M作x軸的垂線與x軸交于點P，過點N作x軸的垂線與拋物線交于點Q．以點P，M，Q，N為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，請求出n的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（－2，0），B（6，0），；（2）；（3）n=1±或-1±．

【解析】試題分析：（1）解一元二次方程x2-4x-12=0可求A、B兩點坐標；將A、B兩點坐標代入二次函數y=ax2+bx+6，可求二次函數解析式；

（2）由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△BDQ的面積，利用三角形面積公式表示△ACQ的面積，根據S△CDQ=S△ABC-S△BDQ-S△ACQ，運用二次函數的性質求面積最大時，m的值；

（3）以點P，M，Q，N為頂點的四邊形能為平行四邊形，因為M，N的位置不確定，所以要分三種情況討論，求出滿足題意的n值即可．

試題解析：（1）∵一元二次方程x2-4x-12=0的兩個根，分別是x=2或6，點A、點B的橫坐標是方程的兩個根，點A在點B的左側，

∴A（-2，0）、B（6，0），將A、B兩點坐標代入二次函數y=ax2+bx+6，得

，

解得，

故y=-x2+2x+6；

（2）依題意，得AB=8，QB=6-m，AQ=m+2，OC=6，則S△ABC=AB×OC=24，

∵由DQ∥AC，

∴△BDQ∽△BCA，

∴ ，

即S△BDQ=（m-6）2，

又∵S△ACQ=AQ×OC=3m+6，

∴S=S△ABC-S△BDQ-S△ACQ=24-（m-6）2-（3m+6）=-m2+m+=-（m-2）2+6，

∴當m=2時，S最大；

（3）∵MN=，點A，B都在直線y=x上，MN在直線AB上，MN在線段 AB上，M的橫坐標為n，縱坐標也為n，

如圖3，過點M作x軸的平行線，過點N作y軸的平行線，它們相交于點H．

∴△MHN是等腰直角三角形．

∴MH=NH=1．

∴點N的坐標為（n+1，n+1），

①如圖4，當n＞0時，PM=n，

NQ=n+1-[-（n+1）2+2（n+1）+6]，

當四邊形PMQN為平行四邊形時，PM=NQ．

則n=n+1-[-（n+1）2+2（n+1）+6]，

解得n=-1+或-1；

②如圖5，當n＜0時，PM=-m，

NQ=n+1-[-（n+1）2+2（n+1）+6]，

當四邊形PMQN為平行四邊形時，PM=NQ．

則-n=n+1-[-（n+1）2+2（n+1）+6]，

解得n=1-或n=-1-，

③∵直線AB過O，即直線經過第一、三象限，

∴點M在第3象限點N在第2象限不存在；

綜上所述以點P，M，Q，N為頂點的四邊形能為平行四邊形，n的值是n=1±，或n=-1±．